Decida se cada afirmação abaixo é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. Considere um operador linear
com
.
Se
é um autovalor de
, então o operador
não é injetor, onde
é o operador identidade de
.
Se
Passo 1
O enunciado considera um operador linear
em um espaço vetorial de dimensão finita
e define
, onde
é um valor escalar. A questão pede para decidir se “se
é um autovalor de
, então
não é injetor” é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Vamos usar definição de autovalor e critério de injetividade via núcleo.
Passo 2
Por definição,
é um autovalor de
se, e somente se, existe um vetor não-nulo
tal que
Passo 3
Aplicando
a esse vetor
temos
Logo
pertence ao núcleo de
e
. Como o núcleo não é apenas o vetor zero, concluímos que
não é injetor.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.