Decida se cada afirmação abaixo é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. Considere um operador linear T: V \rightarrow V com \operatorname{dim}(V)=n.
Se k é um autovalor de T, então o operador L=T-k I não é injetor, onde I é o operador identidade de V.

Passo 1

O enunciado considera um operador linear T:V\to V em um espaço vetorial de dimensão finita n e define L = T - k\,I, onde k é um valor escalar. A questão pede para decidir se “se k é um autovalor de T, então L não é injetor” é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Vamos usar definição de autovalor e critério de injetividade via núcleo.

Passo 2

Por definição, k é um autovalor de T se, e somente se, existe um vetor não-nulo v\in V tal que
T(v) = k\,v.

Passo 3

Aplicando L a esse vetor v\neq 0 temos
L(v) \;=\;(T - k\,I)(v) \;=\;T(v) - k\,v \;=\;k\,v - k\,v \;=\;0.
Logo v pertence ao núcleo de L e v\neq 0. Como o núcleo não é apenas o vetor zero, concluímos que L não é injetor.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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