Considere o operador linear T sobre \mathbb{R}^{3} definido por:
T(x, y, z)=(2 y, 2 x, 2 z)
Mostre que T é um operador diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z)=(2y,2x,2z)
e pede para mostrar que T é diagonalizável. O plano geral é encontrar os autovalores de T, depois os autovetores correspondentes, verificar que há três autovetores linearmente independentes e concluir que existe base de autovetores (logo T é diagonalizável).

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}, sendo e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1).
Aplicando T a cada vetor da base: T(e_{1})=T(1,0,0)=(0,2,0)=2e_{2}, T(e_{2})=T(0,1,0)=(2,0,0)=2e_{1}, T(e_{3})=T(0,0,1)=(0,0,2)=2e_{3}.
Logo, a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\\\ 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 2 & 0\\\\ 2 & -\lambda & 0\\\\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} =(2-\lambda)\det\begin{pmatrix} -\lambda & 2\\\\ 2 & -\lambda \end{pmatrix}.
Como
\det\begin{pmatrix} -\lambda & 2\\\\ 2 & -\lambda \end{pmatrix} =\lambda^{2}-4,
segue que
\chi(\lambda) =(2-\lambda)(\lambda^{2}-4) =(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+2).
Portanto os autovalores são \lambda_{1}=2 (com multiplicidade algébrica 2) e \lambda_{2}=-2 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 4

Agora cada autovalor:
  1. Para \lambda=2\) resolvemos \((A-2I)v=0\), isto é \[\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0\\\\ 2 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -2x+2y=0\;\Rightarrow\;y=x,\\\\ 2x-2y=0\;\Rightarrow\;y=x,\\\\ 0=0\;\Rightarrow\;\text{(livre)}. \end{cases}
Logo o espaço próprio é
E_{2}=\{(x,x,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\},
que tem dimensão 2 (dois parâmetros livres: x\] e \(z).
  1. Para \lambda=-2 resolvemos (A+2I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ 2 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 2x+2y=0\;\Rightarrow\;y=-x,\\\\ 0=0\;\text{(mesma equação)},\\\\ 4z=0\;\Rightarrow\;z=0. \end{cases}
Logo
E_{-2}=\{(x,-x,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
que tem dimensão 1.

Passo 5

Como a soma das dimensões dos espaços próprios é
\dim E_{2} + \dim E_{-2} = 2 + 1 = 3,
igual à dimensão de \mathbb{R}^{3}, temos três autovetores linearmente independentes. Isso mostra que existe uma base de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de T. Portanto T é diagonalizável.

Resposta

T é diagonalizável, com autovalores \;2\;(m.a.=2,\;m.g.=2) e -2\;(m.a.=1,\;m.g.=1).\

Exercícios relacionados