2^{\text {a }} Questão(Valor 2.0):No espaço vetorial \mathbb{R}^{3} consideramos os seguintes subespaços: U= \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=0\right\}, V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y-2 z=0\right\} \in W=S(\{(1,2,0) ;(1,0,2)\}) . Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços: U, V, W, U \cap V, V+U, U+V+W . Em que caso a soma é direta?.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 os subespaços
U=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\},\quad V=\{(x,y,z)\mid x+y-2z=0\},\quad W=\mathrm{Span}\{(1,2,0),(1,0,2)\}
e pede base e dimensão de U,V,W,U\cap V,V+U,U+V+W, além de perguntar em que caso a soma é direta. Para resolver, vamos
  1. achar bases canônicas de cada plano;
  2. usar o método de resolução de sistemas lineares para interseções;
  3. usar a fórmula \dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V);
  4. verificar se as interseções são triviais para checar soma direta.

Passo 2

Encontrar base e dimensão de U.
A condição é x+y+z=0, ou seja x=-y-z. Escrevendo
(x,y,z)=(-y-z,y,z)=y(-1,1,0)+z(-1,0,1),
uma base natural é
\{\,(-1,1,0),\;(-1,0,1)\},
logo \dim U=2.

Passo 3

Encontrar base e dimensão de V.
Da equação x+y-2z=0 vem x=-y+2z, ou seja
(x,y,z)=(-y+2z,y,z)=y(-1,1,0)+z(2,0,1).
Então
\{\,(-1,1,0),\;(2,0,1)\}
é uma base de V e \dim V=2.

Passo 4

Encontrar base e dimensão de W.
Por definição
W=\mathrm{Span}\{(1,2,0),(1,0,2)\},
e esses dois vetores são linearmente independentes, logo
\{(1,2,0),(1,0,2)\}
é base de W e \dim W=2.

Passo 5

Calcular U\cap V\). Um vetor \((x,y,z)\) em \(U\cap V\) satisfaz \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x+y-2z=0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira dá 3z=0\Rightarrow z=0\]. Então \(x+y=0\Rightarrow x=-y, e
(x,y,z)=(-y,y,0)=y(-1,1,0).
Assim
U\cap V=\mathrm{Span}\{(-1,1,0)\},\quad \dim(U\cap V)=1.

Passo 6

Calcular U+V.
Como \dim U=2, \dim V=2 e \dim(U\cap V)=1, pela fórmula
\dim(U+V)=2+2-1=3.
Em \mathbb{R}^3 isso implica U+V=\mathbb{R}^3. Uma base de U+V pode ser, por exemplo,
\{(-1,1,0),\;(-1,0,1),\;(2,0,1)\},
que são três vetores independentes em \mathbb{R}^3.

Passo 7

Calcular U+V+W.
Já sabemos U+V=\mathbb{R}^3. Logo
U+V+W=\mathbb{R}^3+W=\mathbb{R}^3,
com \dim(U+V+W)=3 e base qualquer de \mathbb{R}^3, por exemplo \{(-1,1,0),(-1,0,1),(2,0,1)\}.

Passo 8

Verificar soma direta.
Uma soma X+Y é direta se e só se X\cap Y=\{0\}.
  • Em U+V temos \dim(U\cap V)=1\neq0, logo não é direta.
  • Em U+V+W já que U+V=\mathbb{R}^3, qualquer interseção com W não é trivial (p.ex. W\subset\mathbb{R}^3), então também não é direta.

Resposta

U: base \{(-1,1,0),\,(-1,0,1)\}, \dim U=2
V: base \{(-1,1,0),\,(2,0,1)\}, \dim V=2
W: base \{(1,2,0),\,(1,0,2)\}, \dim W=2 U\cap V: base \{(-1,1,0)\}, \dim(U\cap V)=1 U+V=\mathbb{R}^3: base por exemplo \{(-1,1,0),\,(-1,0,1),\,(2,0,1)\}, \dim=3 U+V+W=\mathbb{R}^3: \dim=3
Nenhuma das somas formadas é direta.

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