Questão(Valor 2.0):No espaço vetorial
consideramos os seguintes subespaços:
. Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços:
. Em que caso a soma é direta?.
Passo 1
O enunciado define em
os subespaços
e pede base e dimensão de
, além de perguntar em que caso a soma é direta. Para resolver, vamos
- achar bases canônicas de cada plano;
- usar o método de resolução de sistemas lineares para interseções;
- usar a fórmula
; - verificar se as interseções são triviais para checar soma direta.
Passo 2
Encontrar base e dimensão de
.
A condição é , ou seja
. Escrevendo
A condição é
uma base natural é
logo
.
Passo 3
Encontrar base e dimensão de
.
Da equação vem
, ou seja
Da equação
Então
é uma base de
e
.
Passo 4
Encontrar base e dimensão de
.
Por definição
Por definição
e esses dois vetores são linearmente independentes, logo
é base de
e
.
Passo 5
Calcular
Subtraindo a segunda da primeira dá
, e
Assim
Passo 6
Calcular
.
Como ,
e
, pela fórmula
Como
Em
isso implica
. Uma base de
pode ser, por exemplo,
que são três vetores independentes em
.
Passo 7
Calcular
.
Já sabemos . Logo
Já sabemos
com
e base qualquer de
, por exemplo
.
Passo 8
Verificar soma direta.
Uma soma é direta se e só se
.
Uma soma
- Em
temos , logo não é direta. - Em
já que , qualquer interseção com não é trivial (p.ex. ), então também não é direta.
Resposta
U: base
,
V: base ,
W: base ,
: base
,
: base por exemplo
,
:
Nenhuma das somas formadas é direta.
V: base
W: base
Nenhuma das somas formadas é direta.