1{ }^{\text {a }} QUESTÃO(Valor 1.5):Em \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) consideramos os seguintes subespaços:
U=\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) f é funçõo impar \} e V=\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): f é funçāo par \}
Mostre que \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})=U \oplus V

Passo 1

O enunciado trabalha em \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), o espaço vetorial de todas as funções reais sobre \mathbb{R}. Definimos os subespaços
U = \{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \mid f(-x) = -f(x)\\ \forall x\},
V = \{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \mid f(-x) = f(x)\\ \forall x\}.
Queremos mostrar que
\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \;=\; U \oplus V,
isto é, que todo f se escreve de modo único como soma de uma parte ímpar e uma parte par.

Passo 2

Primeiro verificamos que U e V são subespaços:
  1. A função nula f(x)=0 satisfaz 0 = -0 e 0 = 0, logo pertence a U e a V.
  2. Se f,g\in U, então (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x), e \alpha f também é ímpar. Logo U é subespaço.
  3. Similarmente, se f,g\in V, então (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x), e \alpha f é par. Logo V é subespaço.

Passo 3

Mostramos que a soma U+V é todo o espaço. Dada qualquer f\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), definimos
f_{\text{par}}(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}, \quad f_{\text{ímpar}}(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}.í
É imediato conferir que f_{\text{par}}\in V e f_{\text{ímpar}}\in Uí, e que
f_{\text{par}}(x) + f_{\text{ímpar}}(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2} = f(x).í
Assim f = f_{\text{ímpar}} + f_{\text{par}}í, provando U+V = \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}).

Passo 4

Para verificar que a soma é direta, mostramos U\cap V = \{0\}. Se h\in U\cap V, então
h(-x) = h(x)\quad\text{e}\quad h(-x) = -\,h(x).
Dessas duas igualdades segue h(x) = -\,h(x), logo h(x)=0 para todo x. Portanto h é a função zero e U\cap V=\{0\}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) = U \oplus V.

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