QUESTÃO(Valor 1.5):Em
consideramos os seguintes subespaços:
:
é funçõo impar
e
é funçāo par
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado trabalha em
, o espaço vetorial de todas as funções reais sobre
. Definimos os subespaços
Queremos mostrar que
isto é, que todo
se escreve de modo único como soma de uma parte ímpar e uma parte par.
Passo 2
Primeiro verificamos que
e
são subespaços:
- A função nula
satisfaz e , logo pertence a e a . - Se
, então , e também é ímpar. Logo é subespaço. - Similarmente, se
, então , e é par. Logo é subespaço.
Passo 3
Mostramos que a soma
é todo o espaço. Dada qualquer
, definimos
É imediato conferir que
e
, e que
Assim
, provando
.
Passo 4
Para verificar que a soma é direta, mostramos
. Se
, então
Dessas duas igualdades segue
, logo
para todo
. Portanto
é a função zero e
.