Nome:
  • É proibido o uso de calculadora.
  • Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
  • Cada um dos itens 1 e 2 deve ser julgado como Certo (C) ou Errado (E).
    (0,5)(\quad) A matriz \left(\begin{array}{cc}10 & 7 \\\\ 20 & 25\end{array}\right) não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para julgar como Certo (C) ou Errado (E) a afirmação de que a matriz
A = \begin{pmatrix}10 & 7 \\[6pt] 20 & 25\end{pmatrix}
não é diagonalizável.
O conteúdo envolvido é cálculo de autovalores (autovalores e polinômio característico) e o critério de diagonalização: uma matriz de ordem n com n autovalores distintos sobre \mathbb{R} é diagonalizável sobre \mathbb{R}.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}10-\lambda & 7 \\[4pt] 20 & 25-\lambda\end{pmatrix} = (10-\lambda)(25-\lambda) - 7\cdot20
= \lambda^2 - 35\lambda + 250 - 140 = \lambda^2 - 35\lambda + 110.
O discriminante é
\Delta = (-35)^2 - 4\cdot1\cdot110 = 1225 - 440 = 785 > 0,
logo há duas raízes reais e distintas
\lambda_{1,2} = \frac{35 \pm \sqrt{785}}{2},\quad \lambda_1 \neq \lambda_2.]

Passo 3

Pelo teorema de diagonalização (autovalores distintos implicam diagonalizável), A tem dois autovalores distintos e, portanto, é diagonalizável sobre \mathbb{R}. A afirmação de que ela “não é diagonalizável” é falsa.

Resposta

E

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