Nome:
  • É proibido o uso de calculadora.
  • Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
  • Cada um dos itens 1 e 2 deve ser julgado como Certo (C) ou Errado (E).
    (0,5) ( ) O conjunto \{(1,-2),(-2,1)\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{2}, considerando o produto interno usual de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \{(1,-2),(-2,1)\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^2 usando o produto interno usual. Para isso, vamos checar (1) a ortogonalidade dos vetores e (2) a independência linear (que garante que formam base).

Passo 2

Para testar a ortogonalidade, calculamos o produto interno
\langle(1,-2),\,(-2,1)\rangle = 1\cdot(-2) + (-2)\cdot1 = -2 - 2 = -4.
Como esse valor não é zero, os vetores não são ortogonais.

Passo 3

Apesar de não serem ortogonais, podemos verificar a independência linear calculando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[6pt]-2 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot1 - (-2)\cdot(-2) = 1 - 4 = -3 \neq 0.
Logo, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^2.]

Passo 4

Como faltou a ortogonalidade (produto interno não nulo), o conjunto não é uma base ortogonal.

Resposta

E

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