Considere o operador linear T: P2 P2 definido por T(x+y t+z t^2)=y+x t+z t^2. Determine: Os autovalores de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, denotado por . O enunciado nos diz que transforma um polinômio da forma em . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores desse operador .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Em álgebra linear, um autovalor T(v) = lambda v de um operador linear é um número escalar tal que existe um vetor não nulo (chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
No nosso caso, estamos trabalhando com polinômios, então será um polinômio em .

Passo 3

Para encontrar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica, que vem de:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante da matriz.

Passo 4

Vamos representar T(1) = 0 + 1 cdot t + 0 cdot t^2 = t como uma matriz. Considerando a base canônica de T(t) = 1 + 0 cdot t + 0 cdot t^2 = 1 , que é T(t^2) = 0 + 0 cdot t + 1 cdot t^2 = t^2 , vamos ver como [T] = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 atua em cada um dos vetores base:
  • quando , , , então:
  • quando , , , então:
  • quando , , , então:
Então, a matriz de na base é:

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz T - lambda I = 0 - lambda & 1 & 0 1 & 0 - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda :
[
T - \lambda I =


]

Passo 6

Calculamos o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:
det(T - lambda I) = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda
Para calcular o determinante, podemos expandir pela terceira coluna, já que ela tem zeros:
det(T - lambda I) = (1 - lambda) cdot det -lambda & 1 1 & -lambda
Calculando o determinante da matriz 2x2:
det -lambda & 1 1 & -lambda = (-lambda)(-lambda) - (1)(1) = lambda^2 - 1
Então:
det(T - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 1)

Passo 7

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de (1 - lambda)(lambda^2 - 1) = 0 :
1 - lambda = 0 ou lambda^2 - 1 = 0
Isso nos dá:
lambda = 1 ou lambda^2 = 1 Rightarrow lambda = pm 1
Resolvendo cada equação:

Resposta

Os autovalores de são e .

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