Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de M3 times 3 abaixo descritos:
b) matrizes que têm a primeira e a última linhas iguais.

Passo 1

Opa! Vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos. A gente precisa encontrar uma base e descobrir a dimensão de um subespaço específico do conjunto de matrizes 3x3, chamado M3 times 3. O subespaço que estamos analisando é formado por todas as matrizes onde a primeira e a última linhas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma base e calcular a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter a primeira e a última linhas iguais em uma matriz 3x3. Vamos representar uma matriz genérica desse subespaço assim:
A = a & b & c d & e & f a & b & c
Aqui, a primeira linha é (a, b, c) e a última linha também precisa ser (a, b, c). A segunda linha (d, e, f) pode ser qualquer linha, sem restrições.

Passo 3

Agora, vamos identificar quantos parâmetros livres temos nessa matriz. Os elementos a, b, c, d, e, e f podem ser quaisquer números reais, então temos 6 variáveis livres. Isso significa que a dimensão do subespaço é 6, já que cada variável livre corresponde a uma dimensão.

Passo 4

Para encontrar uma base, precisamos identificar matrizes que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. Vamos construir essas matrizes considerando cada variável livre de forma isolada.
Primeiro, consideramos a:
E1 = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0
Depois, b:
E2 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0
E c:
E3 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Agora, as matrizes para d, e e f:
E4 = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E5 = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , E6 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

Passo 5

Essas seis matrizes E1 a E6 são linearmente independentes e qualquer matriz do subespaço pode ser escrita como uma combinação linear delas. Portanto, elas formam uma base para o subespaço.

Resposta

A base do subespaço é formada pelas matrizes
1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 , 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 , 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ,
0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
E a dimensão desse subespaço é 6.

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