Seja T: R^3 R^3 o operador linear definido por
T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, y+2 z, z)
(a) Considere os seguintes vetores (0,0,0),(1,2,3),(-3,0,0),(1,1,0). Quais deles são autovetores de T ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, y + 2z, z) definido por
T(v) = lambda v
o conteúdo aqui é sobre autovetores de operadores lineares. Um autovetor é um vetor não nulo que, quando o operador é aplicado a ele, resulta em um múltiplo escalar dele mesmo. Vamos precisar verificar, para cada vetor dado, se existe um escalar tal que
onde é o vetor em questão.

Passo 2

Vamos começar analisando o primeiro vetor da lista: .
Um autovetor, por definição, não pode ser o vetor nulo. Portanto, não é um autovetor de .

Passo 3

Agora, vamos verificar o segundo vetor: T(1, 2, 3) = (1 + 2 cdot 2 + 3 cdot 3, 2 + 2 cdot 3, 3) = (1 + 4 + 9, 2 + 6, 3) = (14, 8, 3) .
Aplicando 14 = lambda cdot 1 8 = lambda cdot 2 3 = lambda cdot 3 nesse vetor:
Agora, queremos ver se existe um escalar tal que .
Isso daria as equações:
Resolvendo a primeira equação, . Mas na segunda, , e na terceira . Como o não é consistente, não é um autovetor de .

Passo 4

Vamos para o terceiro vetor: T(-3, 0, 0) = (-3 + 2 cdot 0 + 3 cdot 0, 0 + 2 cdot 0, 0) = (-3, 0, 0) .
Aplicando -3 = lambda cdot (-3) 0 = lambda cdot 0 0 = lambda cdot 0 nesse vetor:
Agora, verificamos se .
Comparando, vemos que:
A primeira equação nos dá . As outras duas são verdadeiras para qualquer . Portanto, é um autovetor de com .

Passo 5

Por último, vamos verificar o quarto vetor: T(1, 1, 0) = (1 + 2 cdot 1 + 3 cdot 0, 1 + 2 cdot 0, 0) = (3, 1, 0) .
Aplicando 3 = lambda cdot 1 1 = lambda cdot 1 0 = lambda cdot 0 nesse vetor:
Queremos saber se existe um tal que .
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação, , e da segunda . Como não é o mesmo nas duas, não é um autovetor de .

Resposta

O único vetor que é autovetor de é .

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