Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, indique pelo menos um axioma que falha.
c) O conjunto de todos os pares ordenados
de números reais com as operações
c) O conjunto de todos os pares ordenados
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem que descobrir se o conjunto de todos os pares ordenados
de números reais, com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se todas essas regras são cumpridas com as operações fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, junto com duas operações — adição de vetores e multiplicação por escalar — satisfazem certos axiomas, como a existência de um vetor zero, a existência de inversos aditivos, a associatividade e comutatividade da adição, e propriedades da multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos começar verificando a adição dos vetores. A operação dada é:
Essa é exatamente a adição usual de vetores no plano, que é comutativa e associativa, e possui o vetor zero
como elemento neutro. Também existem inversos aditivos, pois para qualquer
, o inverso é
. Então, até aqui, tudo certo com a adição.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a multiplicação por escalar. A operação dada é:
Normalmente, a multiplicação por escalar seria:
Mas no nosso caso, há um fator adicional de 2. Vamos ver se isso causa algum problema com os axiomas.
Passo 5
Um dos axiomas importantes é a distributividade em relação à multiplicação por escalar. Especificamente, deve valer:
Vamos testar isso com as operações dadas.
Se
e
, então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Parece que essa igualdade é válida. Então, esse axioma está satisfeito.
Passo 6
Agora, vamos verificar outro axioma importante: a associatividade da multiplicação por escalar. Deve valer:
Vamos testar com a operação dada.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Claramente,
a menos que
, o que não é geral. Portanto, esse axioma não está sendo satisfeito.
Resposta
O conjunto de todos os pares ordenados
de números reais com as operações dadas não forma um espaço vetorial, pois o axioma da associatividade da multiplicação por escalar não é satisfeito.