Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, indique pelo menos um axioma que falha.
c) O conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais com as operações
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e k(x, y)=(2 k x, 2 k y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem que descobrir se o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se todas essas regras são cumpridas com as operações fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, junto com duas operações — adição de vetores e multiplicação por escalar — satisfazem certos axiomas, como a existência de um vetor zero, a existência de inversos aditivos, a associatividade e comutatividade da adição, e propriedades da multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos começar verificando a adição dos vetores. A operação dada é:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
Essa é exatamente a adição usual de vetores no plano, que é comutativa e associativa, e possui o vetor zero como elemento neutro. Também existem inversos aditivos, pois para qualquer , o inverso é . Então, até aqui, tudo certo com a adição.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a multiplicação por escalar. A operação dada é:
k(x, y) = (2k x, 2k y)
Normalmente, a multiplicação por escalar seria:
k(x, y) = (k x, k y)
Mas no nosso caso, há um fator adicional de 2. Vamos ver se isso causa algum problema com os axiomas.

Passo 5

Um dos axiomas importantes é a distributividade em relação à multiplicação por escalar. Especificamente, deve valer:
k cdot (u + v) = k cdot u + k cdot v
Vamos testar isso com as operações dadas.
Se k cdot (u + v) = k cdot (x1 + x2, y1 + y2) = (2k(x1 + x2), 2k(y1 + y2)) e k cdot u + k cdot v = (2k x1, 2k y1) + (2k x2, 2k y2) = (2k x1 + 2k x2, 2k y1 + 2k y2) , então:
(2k(x1 + x2), 2k(y1 + y2)) = (2k x1 + 2k x2, 2k y1 + 2k y2)
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Parece que essa igualdade é válida. Então, esse axioma está satisfeito.

Passo 6

Agora, vamos verificar outro axioma importante: a associatividade da multiplicação por escalar. Deve valer:
(a cdot b) cdot v = a cdot (b cdot v)
Vamos testar com a operação dada.
Calculando o lado esquerdo:
(a cdot b) cdot v = (a cdot b)(x, y) = (2(a b)x, 2(a b)y)
Calculando o lado direito:
a cdot (b cdot v) = a cdot (2b x, 2b y) = (2a(2b x), 2a(2b y)) = (4a b x, 4a b y)
Claramente, a menos que , o que não é geral. Portanto, esse axioma não está sendo satisfeito.

Resposta

O conjunto de todos os pares ordenados de números reais com as operações dadas não forma um espaço vetorial, pois o axioma da associatividade da multiplicação por escalar não é satisfeito.

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