Dada a transformação linear definida por , determine:
se é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear definida por
Perguntam se é um isomorfismo, isto é, se é bijetora (ou equivalente, invertível como transformação linear entre espaços de mesma dimensão). Para resolver, vamos montar a matriz de na base canônica e verificar se seu determinante é diferente de zero.
Passo 2
Na base canônica de , temos
Logo a matriz de é
Passo 3
Para checar invertibilidade, basta calcular det(A). Como toda a terceira coluna de A é zero, temos imediatamente
det(A) = 0
Alternativamente, observa-se que T(e3)=0, portanto ker(T)neq0 e T não é injetora.
Passo 4
Como det(A)=0, a transformação T não é invertível e, portanto, não é um isomorfismo.