Dada a transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y)=(x-2 y,-x+y, 0), determine:
se T é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3 definida por
T(x,y,z) = (x - 2y, -x + y, 0)
Perguntam se T é um isomorfismo, isto é, se é bijetora (ou equivalente, invertível como transformação linear entre espaços de mesma dimensão). Para resolver, vamos montar a matriz de T na base canônica e verificar se seu determinante é diferente de zero.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3 de R^3, temos
T(e1)=T(1,0,0) = (1, -1, 0), T(e2)=T(0,1,0) = (-2, 1, 0), T(e3)=T(0,0,1) = (0, 0, 0)
Logo a matriz de T é
A = 1 & -2 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 0

Passo 3

Para checar invertibilidade, basta calcular det(A). Como toda a terceira coluna de A é zero, temos imediatamente
det(A) = 0
Alternativamente, observa-se que T(e3)=0, portanto ker(T)neq0 e T não é injetora.

Passo 4

Como det(A)=0, a transformação T não é invertível e, portanto, não é um isomorfismo.

Resposta

T não é um isomorfismo.

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