Dada a transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y)=(x-2 y,-x+y, 0), determine:
o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3
definida por
T(x,y,z) = (,x - 2y,;-x + y,;0,)
Pede-se o núcleo de T, uma base para esse núcleo e sua dimensão. Para isso, vamos resolver a equação T(x,y,z) = (0,0,0).

Passo 2

Escrevemos
T(x,y,z) = (0,0,0)
o que equivale ao sistema de equações
x - 2y = 0, -,x + y = 0, 0 = 0

Passo 3

Resolvendo as duas primeiras equações em x e y:
da primeira vem x = 2y. Substituindo na segunda,
- (2y) + y = -y = 0 Longrightarrow y = 0 Longrightarrow x = 2cdot 0 = 0
A terceira equação é 0=0, que não impõe restrição em z. Logo,
x = 0, y = 0, z livre

Passo 4

Portanto o núcleo de T é
ker(T) = (0,0,z)mid zinR = span(0,0,1)
Uma base de ker(T) é (0,0,1) e a dimensão é 1.

Resposta

ker(T)=(0,0,z)mid zinR,
base (0,0,1),
dim(ker(T))=1.

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