Encontre os auto-valores e os auto-vetores dos operadores lineares abaixo:
Passo 1
O exercício pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear dado por . Vamos precisar representar na base canônica, calcular o polinômio característico , achar as raízes e, para cada , resolver .
As raízes desse polinômio são as soluções de 3-lambda=0 e lambda^2+1=0, ou seja
lambda1=3, lambda2=i, lambda3=-i
Passo 5
Para lambda=3 resolvemos
(A-3I)v=0 iff 0&0&00&-1&-50&1&-5 xyz =0 Dessas equações vem y=z=0 e x livre. Logo os autovetores são de forma (x,0,0), xneq0.
Passo 6
Para lambda=i resolvemos
3-i&0&00&2-i&-50&1&-2-i xyz=0 Da primeira linha segue x=0. Das outras duas obtemos
(2-i)y-5z=0 e y+(-2-i)z=0 Essas duas dão a mesma relação z=tfrac2-i5y. Portanto os autovetores são (0,y,tfrac2-i5y), yneq0.
Passo 7
Para lambda=-i o procedimento é análogo e leva a x=0, z=tfrac2+i5y. Então os autovetores são (0,y,tfrac2+i5y), yneq0.
Resposta
Os autovalores são lambda1=3, lambda2=i e lambda3=-i. Os autovetores correspondentes são:
• para lambda=3: vetores de forma (x,0,0), xneq0;
• para lambda=i: vetores de forma (0,y,tfrac2-i5y), yneq0;
• para lambda=-i: vetores de forma (0,y,tfrac2+i5y), yneq0.