Encontre os auto-valores e os auto-vetores dos operadores lineares abaixo:
T(x, y, z)=(3 x, 2 y-5 z, y-2 z)

Passo 1

O exercício pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear T:R^3toR^3 dado por T(x,y,z)=(3x,,2y-5z,,y-2z). Vamos precisar representar T na base canônica, calcular o polinômio característico det(A-lambda I), achar as raízes lambda e, para cada lambda, resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica (e1,e2,e3), o operador T tem matriz
A= 3 & 0 & 0 0 & 2 & -5 0 & 1 & -2

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =(3-lambda) det2-lambda & -51 & -2-lambda =(3-lambda)l((2-lambda)(-2-lambda)+5r) =(3-lambda)(lambda^2+1)

Passo 4

As raízes desse polinômio são as soluções de 3-lambda=0 e lambda^2+1=0, ou seja
lambda1=3, lambda2=i, lambda3=-i

Passo 5

Para lambda=3 resolvemos
(A-3I)v=0 iff 0&0&00&-1&-50&1&-5 xyz =0 Dessas equações vem y=z=0 e x livre. Logo os autovetores são de forma (x,0,0), xneq0.

Passo 6

Para lambda=i resolvemos
3-i&0&00&2-i&-50&1&-2-i xyz=0 Da primeira linha segue x=0. Das outras duas obtemos
(2-i)y-5z=0 e y+(-2-i)z=0 Essas duas dão a mesma relação z=tfrac2-i5y. Portanto os autovetores são (0,y,tfrac2-i5y), yneq0.

Passo 7

Para lambda=-i o procedimento é análogo e leva a x=0, z=tfrac2+i5y. Então os autovetores são (0,y,tfrac2+i5y), yneq0.

Resposta

Os autovalores são lambda1=3, lambda2=i e lambda3=-i. Os autovetores correspondentes são:
• para lambda=3: vetores de forma (x,0,0), xneq0;
• para lambda=i: vetores de forma (0,y,tfrac2-i5y), yneq0;
• para lambda=-i: vetores de forma (0,y,tfrac2+i5y), yneq0.

Exercícios relacionados