Sejam
e
funções.
Mostre que se
e
forem 1 a 1 , então
também é 1 a 1 .
Mostre que se
Passo 1
Resumo do enunciado: temos as funções
e
injetoras, e queremos mostrar que a composição
também é injetora. O conteúdo aqui é injetividade e propriedades de composição de funções.
Passo 2
A definição de injetividade diz que uma função
é injetora se vale: para quaisquer
, sempre que
então
. Em notação:
Passo 3
Prova de que
é injetora: suponha
tais que
$$(g\circ f)(x_1) = (g\circ f)(x_2).
$$
Logo, sempre que temos
, o que mostra que
é injetora.
Logo, sempre que
Resposta
A composição
é uma função 1 a 1 (injetora).