Sejam f: a b, g: b c e h: c d funções.
Mostre que se f e g forem 1 a 1 , então g circ f também é 1 a 1 .

Passo 1

Resumo do enunciado: temos as funções fcolon A to B e gcolon B to C injetoras, e queremos mostrar que a composição gcirc fcolon A to C também é injetora. O conteúdo aqui é injetividade e propriedades de composição de funções.

Passo 2

A definição de injetividade diz que uma função kcolon X to Y é injetora se vale: para quaisquer x1, x2 in X, sempre que k(x1)=k(x2) então x1 = x2. Em notação:
forall x1,x2in X,;k(x1)=k(x2)implies x1=x2

Passo 3

Prova de que gcirc f é injetora: suponha x1,x2in A tais que
$$(g\circ f)(x_1) = (g\circ f)(x_2).
(gcirc f)(x1) = (gcirc f)(x2) éf(x_1) = f(x_2).
g(f(x1)) = g(f(x2))ééx_1 = x_2.
$$
Logo, sempre que g temos f(x1) = f(x2) , o que mostra que f é injetora.

Resposta

A composição gcirc f é uma função 1 a 1 (injetora).

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