Considere o operador linear T sobre o
, definida por
a base canônica do
. Obtenha:
Os autovetores.
Os autovetores.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
na base canônica
.
Queremos encontrar os vetores próprios (autovetores), portanto precisamos:
Queremos encontrar os vetores próprios (autovetores), portanto precisamos:
- Obter a matriz de
em . - Calcular o polinômio característico e achar os autovalores.
- Para cada autovalor, resolver
e achar o espaço próprio.
Passo 2
A matriz de
em relação à base canônica é
Isto porque
T(x,y,z)=(2x+y,;y-z,;2y+4z) corresponde às colunas de
A .
Passo 3
O polinômio característico é
Expandindo o fator interno:
Logo
e os autovalores são
lambda=2 (multiplicidade algébrica 2) e
lambda=3 .
Passo 4
Para
, resolvemos
As equações são
Logo
e
, ficando
livre. Um gerador do espaço próprio é
Passo 5
Para
, resolvemos
As equações são
Da primeira vem
. Das outras duas vem
. Tomando
, um gerador é
Resposta
Os autovetores de
T são:
(a) associados alambda=2 : todos os múltiplos de
(1,0,0) ,
(b) associados alambda=3 : todos os múltiplos de
(1,1,-2) .
(a) associados a
(b) associados a