Considere o operador linear T sobre o R^3, definida por T(x, y, z)=(2 x+y, y-z, 2 y+4 z) B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica do R^3. Obtenha:
Os autovetores.

Passo 1

O enunciado define o operador linear TcolonR^3toR^3 por
T(x,y,z) = (2x+y,;y-z,;2y+4z),
na base canônica B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Queremos encontrar os vetores próprios (autovetores), portanto precisamos:
  1. Obter a matriz de T em B.
  2. Calcular o polinômio característico e achar os autovalores.
  3. Para cada autovalor, resolver (A-lambda I)v=0 e achar o espaço próprio.

Passo 2

A matriz de T em relação à base canônica é
A = 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 2 & 4
Isto porque T(x,y,z)=(2x+y,;y-z,;2y+4z) corresponde às colunas de A.

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 2-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & -1 0 & 2 & 4-lambda = (2-lambda)l((1-lambda)(4-lambda)+2r)
Expandindo o fator interno:
(1-lambda)(4-lambda)+2 = lambda^2 -5lambda +4 +2 = (lambda-2)(lambda-3)
Logo
det(A - lambda I) = -( lambda-2)^2(lambda-3),
e os autovalores são lambda=2 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=3.

Passo 4

Para , resolvemos
As equações são
Logo e , ficando livre. Um gerador do espaço próprio é

Passo 5

Para , resolvemos
As equações são
Da primeira vem . Das outras duas vem . Tomando , um gerador é

Resposta

Os autovetores de T são:
(a) associados a lambda=2: todos os múltiplos de (1,0,0),
(b) associados a lambda=3: todos os múltiplos de (1,1,-2).

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