Nos exercícios 1 ao 18 identifique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações:
x^2+y^2=2 y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2+y^2=2y
em R^3 e pede para identificar e representar geometricamente a superfície descrita. Vamos usar completamento de quadrado e o fato de que, se não aparece z, trata-se de um cilindro cujas geratrizes são paralelas ao eixo z.

Passo 2

Reescrevendo a equação e completando o quadrado em y:
x^2+y^2-2y=0
x^2+l(y-1r)^2-1=0
x^2+l(y-1r)^2=1

Passo 3

Como z não aparece na equação, todo ponto (x,y) que satisfaz x^2+(y-1)^2=1 gera uma reta paralela a z. Logo, a superfície é um cilindro circular de base o círculo x^2+(y-1)^2=1 no plano z=0.

Passo 4

O círculo tem centro em (0,1,0) e raio 1, e o cilindro se obtém “esticando” esse círculo ao longo do eixo z. Seu eixo é a reta
(0,1,z)mid zinR
e seu raio é ,1.

Resposta

A superfície é o cilindro circular
(x,y,z)inR^3mid x^2+(y-1)^2=1,
de raio 1 e eixo paralelo ao eixo z passando por x=0,;y=1.

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