Decida se cada afirmação abaixo é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. Considere um operador linear T: V \rightarrow V com \operatorname{dim}(V)=n.
Se T(\vec{v})=k \vec{v} para algum escalar não-nulo k, então \vec{v} é autovetor de T.

Passo 1

O enunciado afirma que, para um operador linear T:V\to V com \dim(V)=n, se existe um escalar não‐nulo k tal que
T(\vec v)=k\,\vec v,
então \vec v é autovetor de T. Para decidir se isso é sempre verdadeiro, vamos recordar a definição de autovetor.

Passo 2

Por definição, \vec v é autovetor de T associado ao autovalor \lambda se e somente se
  1. \vec v\neq\vec 0, e
  2. T(\vec v)=\lambda\,\vec v.
    Ou seja, além de satisfazer a relação linear, o vetor tem de ser não‐nulo.

Passo 3

Se escolhermos \vec v=\vec 0, então para qualquer k\neq 0 vale
T(\vec 0)=\vec 0 = k\,\vec 0,
mas \vec 0 não pode ser considerado autovetor (pela condição 1). Assim, a afirmação do enunciado falha quando \vec v=\vec 0. Se impuséssemos também \vec v\neq\vec 0, aí sim seria sempre verdadeira.

Resposta

Às vezes falsa. O contraexemplo é \vec v=\vec 0, já que T(\vec 0)=k\,\vec 0 mas \vec 0 não é autovetor.

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