Decida se cada afirmação abaixo é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. Considere um operador linear
com
.
Se
para algum escalar não-nulo
, então
é autovetor de
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, para um operador linear
com
, se existe um escalar não‐nulo
tal que
então
é autovetor de
. Para decidir se isso é sempre verdadeiro, vamos recordar a definição de autovetor.
Passo 2
Por definição,
é autovetor de
associado ao autovalor
se e somente se
-
, e -
.
Ou seja, além de satisfazer a relação linear, o vetor tem de ser não‐nulo.
Passo 3
Se escolhermos
, então para qualquer
vale
mas
não pode ser considerado autovetor (pela condição 1). Assim, a afirmação do enunciado falha quando
. Se impuséssemos também
, aí sim seria sempre verdadeira.
Resposta
Às vezes falsa. O contraexemplo é
, já que
mas
não é autovetor.