Considere o operador linear T sobre P_{2}(\mathbb{R}) definido por:
T(p(x))=p(0)+p(1)\left(x+x^{2}\right)
Determine os autovalores de T. O operador T é diagonalizável? Se sim, dê a base e a matriz de T em relação a esta base.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}) definido por
T\bigl(p(x)\bigr)=p(0)+p(1)\,\bigl(x+x^{2}\bigr).
Precisamos encontrar os autovalores de T e verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos montar a matriz de T em relação à base padrão \{1,x,x^2\}, calcular o polinômio característico, obter os autovalores e, em seguida, os autovetores.

Passo 2

Vamos expressar T na base padrão \{1,x,x^2\}.
  • Para p(x)=1 temos p(0)=1 e p(1)=1, logo
T(1)=1+1\,(x+x^2)=1+x+x^2.
  • Para p(x)=x temos p(0)=0 e p(1)=1, logo
T(x)=0+1\,(x+x^2)=x+x^2.
  • Para p(x)=x^2 temos p(0)=0 e p(1)=1, logo
T(x^2)=x+x^2.
Logo, a matriz de T na base \{1,x,x^2\} é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
onde as colunas são as coordenadas de T(1), T(x) e T(x^2).

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\\ 1 & 1-\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda&1\\\ 1&1-\lambda\end{pmatrix}.
E
\det\begin{pmatrix}1-\lambda&1\\\ 1&1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2-1=\lambda(\lambda-2).
Portanto
\chi_A(\lambda)=(1-\lambda)\,\lambda\,(\lambda-2).

Passo 4

Os autovalores são as raízes de \chi_A(\lambda)=0, ou seja
\lambda_0=0,\quad \lambda_1=1,\quad \lambda_2=2.
Cada autovalor é simples, então esperamos três autovetores linearmente independentes.

Passo 5

Encontramos agora, para cada \lambda, um autovetor p(x)=a+bx+cx^2 tal que T(p)=\lambda p. O sistema resulta em
(1-\lambda)a=0,\quad a+(1-\lambda)b+c=0,\quad a+b+(1-\lambda)c=0.
  • Para \lambda=0: da primeira equação a=0 e das outras b+c=0. Tomando b=1 vem c=-1, logo autovetor
v_0(x)=x - x^2.
  • Para \lambda=1: a primeira equação não impõe a, e das outras c=-a e b=-a. Tomando a=1 vem b=c=-1, logo
v_1(x)=1 - x - x^2.
  • Para \lambda=2: da primeira equação a=0 e das outras c=b. Tomando b=1 vem c=1, logo
v_2(x)=x + x^2.

Passo 6

Os autovetores \{v_0,v_1,v_2\}=\{\,x-x^2,\;1-x-x^2,\;x+x^2\} são linearmente independentes e geram P_{2}(\mathbb{R}). Como há três autovalores distintos em um espaço de dimensão 3, T é diagonalizável. Na base
\mathcal{B}=\bigl\{\,v_0,v_1,v_2\bigr\}
a matriz de T é diagonal:
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores de T são
0,\quad 1,\quad 2.
O operador T é diagonalizável. Uma base de autovetores é
\{\,x - x^2,\;1 - x - x^2,\;x + x^2\},
e, nessa base, a matriz de T é
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

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