Considere o operador linear T sobre P_{2}(\mathbb{R}) definido por:
T(p(x))=p(0)+p(1)\left(x+x^{2}\right)
Determine os autovalores de T. O operador T é diagonalizável? Se sim, dê a base e a matriz de T em relação a esta base.
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}) definido por
T\bigl(p(x)\bigr)=p(0)+p(1)\,\bigl(x+x^{2}\bigr).
Precisamos encontrar os autovalores de T e verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos montar a matriz de T em relação à base padrão \{1,x,x^2\}, calcular o polinômio característico, obter os autovalores e, em seguida, os autovetores.
Para \lambda=0: da primeira equação a=0 e das outras b+c=0. Tomando b=1 vem c=-1, logo autovetor
v_0(x)=x - x^2.
Para \lambda=1: a primeira equação não impõe a, e das outras c=-a e b=-a. Tomando a=1 vem b=c=-1, logo
v_1(x)=1 - x - x^2.
Para \lambda=2: da primeira equação a=0 e das outras c=b. Tomando b=1 vem c=1, logo
v_2(x)=x + x^2.
Passo 6
Os autovetores \{v_0,v_1,v_2\}=\{\,x-x^2,\;1-x-x^2,\;x+x^2\} são linearmente independentes e geram P_{2}(\mathbb{R}). Como há três autovalores distintos em um espaço de dimensão 3, T é diagonalizável. Na base