Resolva, através do processo de redução de linhas, os seguintes sistemas de equações lineares.
\left\{\begin{array}{l}x+(1+i) y-2 i z-(1+i) w=2+i \\\ (1-i) x+2 y-(2+i) z+(-3+i) w=1-2 i \\\ i x+(-1+i) y+i z-(2+2 i) w=-1-3 i\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com coeficientes complexos
\begin{cases} x+(1+i)\,y-2i\,z-(1+i)\,w=2+i,\\\ (1-i)\,x+2\,y-(2+i)\,z+(-3+i)\,w=1-2i,\\\ i\,x+(-1+i)\,y+i\,z-(2+2i)\,w=-1-3i, \end{cases}
e pede para resolver por redução de linhas (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para triangularizar.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada inicial, com a primeira linha normalizada já em forma de coeficientes:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1+i & -2i & -1-i & 2+i\\\\ 1-i & 2 & -2-i & -3+i & 1-2i\\\ i & -1+i & i & -2-2i & -1-3i \end{array}\right].
Aqui a coluna 1 corresponde a x, coluna 2 a y, coluna 3 a z, coluna 4 a w e a coluna “ |” aos termos independentes.

Passo 3

Eliminamos x das linhas 2 e 3 usando
L_2 \gets L_2 - (1 - i)\,L_1, \qquad L_3 \gets L_3 - i\,L_1.
O resultado é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1+i & -2i & -1-i & 2+i\\\\ 0 & 0 & i & -1+i & -2-i\\\\ 0 & 0 & -2+i & -3-i & -5\,i \end{array}\right].

Passo 4

Agora eliminamos z da linha 3 usando
L_3 \gets L_3 - \frac{-2+i}{i}\,L_2.
Note que \frac{-2+i}{i}=1+2i. Após a operação, a linha 3 fica nula, indicando posto 2 e uma família infinita de soluções.

Passo 5

Como temos duas equações não triviais, escolhemos duas variáveis livres. Seja
y = s,\quad w = t,
com s,t\in\mathbb{C}.
Da segunda linha (pivot em z):
i\,z +(-1+i)\,t = -2 - i \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{-2 - i -(-1+i)\,t}{i}.
Fazendo as simplificações resulta
z = (-1 - t) + (2 - t)\,i.
Da primeira linha (pivot em x):
x + (1+i)\,s -2i\,z - (1+i)\,t = 2 + i \quad\Longrightarrow\quad x = 2 + i - (1+i)\,s +2i\,z + (1+i)\,t.
Substituindo z e simplificando, obtemos
x = -2 - i \;-\;(1+i)\,s \;+\;(3 - i)\,t.

Resposta

As soluções formam a família parametrizada por s,t\in\mathbb{C}:
\boxed{ \begin{aligned} x &= -2 - i \;-\;(1+i)\,s \;+\;(3 - i)\,t,\\\ y &= s,\\\ z &= -1 - t \;+\;(2 - t)\,i,\\\ w &= t. \end{aligned} }

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