Considere o operador
L[y]=y^prime-32 y^1 / 3
(y=y(x), y^prime equiv d yd x).
(a) L é um operador linear? i.e.,
L(c1 y1+c2 y2)=c1 L[y1]+c2 L[y2]
para quaisquer constantes c1, c2 e funções diferenciáveis y1, y2 ?
(b) A função phi(x) equiv 0(phi(x)=0, forall x in R) é uma solução do PVI
L[y]=0, y(0)=0
(em I=R) ?
(c) Encontre outra solução.
(d) Por que o Teorema de Existência e Unicidade não se aplica em relação a esse PVI?

Passo 1

O enunciado define o operador
L[y]=y' - 32,y^1/3,
e pede:
– (a) verificar se L é linear;
– (b) checar se phi(x)equiv0 satisfaz
L[y]=0, y(0)=0;
– (c) encontrar outra solução desse PVI;
– (d) explicar por que o Teorema de Existência e Unicidade não vale aqui.

Passo 2

Para testar linearidade, aplicamos L a c1y1+c2y2:
L[c1y1+c2y2] =(c1y1'+c2y2')-tfrac32,(c1y1+c2y2)^1/3
Por outro lado,
c1L[y1]+c2L[y2] =c1l(y1'-tfrac32,y1^1/3r) +c2l(y2'-tfrac32,y2^1/3r),
e em geral
(c1y1+c2y2)^1/3neq c1,y1^1/3+c2,y2^1/3
Logo L não é linear.

Passo 3

Verificamos phi(x)equiv0. Temos
L[0]=0' - tfrac32,0^1/3=0,
e claramente phi(0)=0. Portanto phi é solução do PVI.

Passo 4

Resolvendo
y'=tfrac32,y^1/3,
separamos variáveis:
y^-1/3dy=tfrac32,dx Longrightarrow integral y^-1/3dy=tfrac32,x+C ;Longrightarrow; tfrac32,y^2/3=tfrac32,x+C ;Longrightarrow; y^2/3=x+C',
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y=(x+C')^3/2
Para a condição y(0)=0 faz-se C'=0, obtendo-se
y(x)=x^3/2
Como isso vale apenas para x>=0, podemos estender para todo R definindo
y(x)= 0,&x<=0, x^3/2,&x>=0,
que é diferenciável em toda a reta e satisfaz o PVI.

Passo 5

O Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindel"of) exige que
partial f/partial y seja limitada perto da condi\c{c}~ao inicial, onde aqui
f(x,y)=tfrac32,y^1/3 Longrightarrow partial fpartial y=tfrac12,y^-2/3,
que diverge em y=0. Assim n~ao h’a Lipschitz em y=0, e o teorema n~ao se aplica.

Resposta

(a)
(d) Porque , falhando a condição de Lipschitz exigida pelo teorema.

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