Considere o operador
.
(a)
é um operador linear? i.e.,
para quaisquer constantes
e funções diferenciáveis
?
(b) A função
é uma solução do PVI
?
(c) Encontre outra solução.
(d) Por que o Teorema de Existência e Unicidade não se aplica em relação a esse PVI?
(a)
(b) A função
(c) Encontre outra solução.
(d) Por que o Teorema de Existência e Unicidade não se aplica em relação a esse PVI?
Passo 1
O enunciado define o operador
e pede:
– (a) verificar se é linear;
– (b) checar se satisfaz
– (a) verificar se
– (b) checar se
– (c) encontrar outra solução desse PVI;
– (d) explicar por que o Teorema de Existência e Unicidade não vale aqui.
– (d) explicar por que o Teorema de Existência e Unicidade não vale aqui.
Passo 2
Para testar linearidade, aplicamos
a
:
Por outro lado,
e em geral
Logo
não é linear.
Passo 3
Verificamos
. Temos
e claramente
. Portanto
é solução do PVI.
Passo 4
Resolvendo
separamos variáveis:
logo
Para a condição
faz-se
, obtendo-se
Como isso vale apenas para
, podemos estender para todo
definindo
que é diferenciável em toda a reta e satisfaz o PVI.
Passo 5
O Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindel"of) exige que
seja limitada perto da condi\c{c}~ao inicial, onde aqui
que diverge em
. Assim n~ao h’a Lipschitz em
, e o teorema n~ao se aplica.
Resposta
(a)
(d) Porque , falhando a condição de Lipschitz exigida pelo teorema.