Para a EDO
y^(3)-y^prime prime-y^prime+y=2 e^-x+3 e^x
(a) Encontre a solução complementar.
(b) Encontre a solução particular pelo método de coeficientes indeterminados.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de terceira ordem
y^(3) - y'' - y' + y = 2e^-x + 3e^x,
então precisamos de duas coisas:
– Em (a), achar a solução complementar yc resolvendo a equação homogênea associada.
– Em (b), achar uma solução particular yp usando o método dos coeficientes indeterminados, tratando separadamente os termos 2e^-x e 3e^x.

Passo 2

Para a parte homogênea, supomos y=e^rx. Substituindo em
y^(3) - y'' - y' + y = 0
vem a equação característica
r^3 - r^2 - r + 1 = 0
Agrupando temos
r^2(r-1) - (r-1) = (r-1)(r^2-1) = (r-1)^2(r+1)=0
Logo as raízes são r=1 (multiplicidade 2) e r=-1. Portanto
yc = C1e^x + C2,x e^x + C3e^-x

Passo 3

Para o termo 2e^-x, como -1 é raiz simples da característica, escolhemos o ansatz
yp1 = A x e^-x
Calculando as derivadas e substituindo em y^(3)-y''-y'+y, obtém-se
l(y^(3)-y''-y'+yr)p1 = 4A,e^-x
Para igualar a 2e^-x basta 4A=2, ou seja A=tfrac12. Logo
yp1 = tfrac12,x e^-x

Passo 4

Para o termo 3e^x, como 1 é raiz de multiplicidade 2, multiplicamos por x^2 e tomamos
yp2 = B x^2 e^x
Novamente calculando as derivadas e colocando em y^(3)-y''-y'+y, obtemos
l(y^(3)-y''-y'+yr)p2 = 4B,e^x
Para igualar a 3e^x precisamos de 4B=3, isto é B=tfrac34. Então
yp2 = tfrac34,x^2 e^x
Com superposição vem
yp = yp1 + yp2 = tfrac12,x e^-x + tfrac34,x^2 e^x

Resposta

(a) yc = C1 e^x + C2 cdot x e^x + C3 e^-x
(b) yp = tfrac12 cdot x e^-x + tfrac34 cdot x^2 e^x

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