Para a EDO
(a) Encontre a solução complementar.
(b) Encontre a solução particular pelo método de coeficientes indeterminados.
(b) Encontre a solução particular pelo método de coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de terceira ordem
então precisamos de duas coisas:
– Em (a), achar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada.
– Em (b), achar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, tratando separadamente os termos
e
.
– Em (a), achar a solução complementar
– Em (b), achar uma solução particular
Passo 2
Para a parte homogênea, supomos
. Substituindo em
vem a equação característica
Agrupando temos
Logo as raízes são
(multiplicidade
) e
. Portanto
Passo 3
Para o termo
, como
é raiz simples da característica, escolhemos o ansatz
Calculando as derivadas e substituindo em
, obtém-se
Para igualar a
basta
, ou seja
. Logo
Passo 4
Para o termo
, como
é raiz de multiplicidade
, multiplicamos por
e tomamos
Novamente calculando as derivadas e colocando em
, obtemos
Para igualar a
precisamos de
, isto é
. Então
Com superposição vem
Resposta
(a)
(b)
(b)