(a) Resolva a equação homogênea
y^prime prime prime+y^prime=0
(b) Dê a forma de uma solução particular da equação
y^prime prime prime+y^prime=cos x
(c) Encontre uma solução particular desta equação.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de coeficientes constantes de terceira ordem
y^primeprimeprime+y^prime=0
e depois encontrar uma forma de solução particular e uma solução particular para
y^primeprimeprime+y^prime=cos x
O conteúdo é: equação característica para a parte homogênea e método dos coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Para a homogênea ;y^primeprimeprime+y^prime=0 montamos a equação característica
r^3 + r = 0 Longrightarrow r,(r^2+1)=0
cujas raízes são r=0 e r=pm i. Logo a solução geral da homogênea é
yc = C1 + C2cos x + C3sin x

Passo 3

Como o termo forçante é cos x, que já aparece na homogênea, usamos o palpite multiplicado por x:
yp = xl(Acos x + Bsin xr)

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias e impondo yp'''+yp'=cos x:
yp' = x(-Asin x + Bcos x) + Acos x + Bsin x,
yp''' = -3Acos x - 3Bsin x + x(Asin x - Bcos x)
Somando,
yp'''+yp' = -2Acos x -2Bsin x
Para dar cos x devemos ter -2A=1 e -2B=0, isto é A=-tfrac12 e B=0. Assim
yp = -x2cos x

Resposta

(a) yc = C1 + C2cos x + C3sin x
(b) Uma forma de solução particular é yp = xl(Acos x + Bsin xr)
(c) Uma solução particular é yp = -x2cos x

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