1- (2,0) Defina e dê exemplo:
OBS: Considere como conjunto universo o Conjunto dos números reais:
a) conjunto aberto
b) conjunto fechado
c) ponto de aderência
d) ponto de acumulação
e) ponto isolado

Passo 1

O enunciado pede que, no universo \mathbb{R}, a gente defina e ilustre com exemplos as seguintes noções de topologia em \mathbb{R}:
a) conjunto aberto
b) conjunto fechado
c) ponto de aderência
d) ponto de acumulação
e) ponto isolado

Passo 2

Conjunto aberto. Um subconjunto U\subseteq\mathbb{R} é aberto se, para todo x\in U, existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq U.
Exemplo:
U=(0,1)
é aberto porque, para cada x\in(0,1), posso escolher, por exemplo, \varepsilon=\min\{x,1-x\}>0 e obter (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset(0,1).

Passo 3

Conjunto fechado. Um subconjunto F\subseteq\mathbb{R} é fechado se o seu complemento \mathbb{R}\setminus F é aberto. Equivalentemente, F contém todos os seus pontos de acumulação.
Exemplo:
F=[0,1]
é fechado porque \mathbb{R}\setminus[0,1)=(-\infty,0)\cup(1,\infty) é a união de abertos.

Passo 4

Ponto de aderência. Dado A\subseteq\mathbb{R}, um ponto x\in\mathbb{R} é de aderência de A se toda vizinhança de x intersecta A. Ou seja, para todo \varepsilon>0,
(A\cap(x-\varepsilon,x+\varepsilon))\neq\emptyset.
Exemplo: para A=(0,1), o ponto x=0 é de aderência, pois qualquer intervalo centrado em 0 toca algum ponto de (0,1).

Passo 5

Ponto de acumulação. Um ponto x\in\mathbb{R} é de acumulação de A se toda vizinhança de x, removendo possivelmente o próprio x, ainda intersecta A. Formalmente, para todo \varepsilon>0,
\bigl(A\setminus\{x\}\bigr)\cap(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\neq\emptyset.
Exemplo: em A=\{1/n : n\in\mathbb{N}\}, o ponto x=0 é de acumulação porque em qualquer vizinhança de 0 existem termos 1/n\neq0.

Passo 6

Ponto isolado. Um ponto x\in A é isolado em A se existe \varepsilon>0 tal que
A\cap(x-\varepsilon,x+\varepsilon)=\{x\}.
Exemplo: em A=\{0\}\cup(1,2), o ponto x=0 é isolado, pois posso escolher \varepsilon=0,5 e a interseção com A será somente \{0\}.

Resposta

(a) Conjunto aberto: U=(0,1), pois cada x\in(0,1) tem um raio \varepsilon com (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset(0,1).
(b) Conjunto fechado: F=[0,1], pois \mathbb{R}\setminus[0,1) é aberto.
(c) Ponto de aderência: 0 em A=(0,1), já que qualquer vizinhança de 0 intersecta (0,1).
(d) Ponto de acumulação: 0 em A=\{1/n:n\in\mathbb{N}\}, pois toda vizinhança de 0 contém algum 1/n\neq0.
(e) Ponto isolado: 0 em A=\{0\}\cup(1,2), porque existe \varepsilon>0 que faz com que (-\varepsilon,\varepsilon)\cap A=\{0\}.

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