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Defina e dê exemplo:
OBS: Considere como conjunto universo o Conjunto dos números reais:
a) conjunto aberto
b) conjunto fechado
c) ponto de aderência
d) ponto de acumulação
e) ponto isolado
OBS: Considere como conjunto universo o Conjunto dos números reais:
a) conjunto aberto
b) conjunto fechado
c) ponto de aderência
d) ponto de acumulação
e) ponto isolado
Passo 1
O enunciado pede que, no universo
, a gente defina e ilustre com exemplos as seguintes noções de topologia em
:
a) conjunto aberto
b) conjunto fechado
c) ponto de aderência
d) ponto de acumulação
e) ponto isolado
a) conjunto aberto
b) conjunto fechado
c) ponto de aderência
d) ponto de acumulação
e) ponto isolado
Passo 2
Conjunto aberto. Um subconjunto
é aberto se, para todo
, existe
tal que
.
Exemplo:
Exemplo:
é aberto porque, para cada
, posso escolher, por exemplo,
>0 e obter
.
Passo 3
Conjunto fechado. Um subconjunto
é fechado se o seu complemento
é aberto. Equivalentemente,
contém todos os seus pontos de acumulação.
Exemplo:
Exemplo:
é fechado porque
é a união de abertos.
Passo 4
Ponto de aderência. Dado
, um ponto
é de aderência de
se toda vizinhança de
intersecta
. Ou seja, para todo
,
Exemplo: para
, o ponto
é de aderência, pois qualquer intervalo centrado em
toca algum ponto de
.
Passo 5
Ponto de acumulação. Um ponto
é de acumulação de
se toda vizinhança de
, removendo possivelmente o próprio
, ainda intersecta
. Formalmente, para todo
,
Exemplo: em
, o ponto
é de acumulação porque em qualquer vizinhança de
existem termos
.
Passo 6
Ponto isolado. Um ponto
é isolado em
se existe
tal que
Exemplo: em
, o ponto
é isolado, pois posso escolher
e a interseção com
será somente
.
Resposta
(a) Conjunto aberto:
, pois cada
tem um raio
com
.
(b) Conjunto fechado: , pois
é aberto.
(c) Ponto de aderência: em
, já que qualquer vizinhança de
intersecta
.
(d) Ponto de acumulação: em
, pois toda vizinhança de
contém algum
.
(e) Ponto isolado: em
, porque existe
que faz com que
.
(b) Conjunto fechado:
(c) Ponto de aderência:
(d) Ponto de acumulação:
(e) Ponto isolado: