Considere o operador A(x, y)=(y, 0). Determine os autovalores e autovetores. Existe matriz P invertível tal que P^{-1} A P seja diagonal?

Passo 1

O enunciado define o operador linear A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
A(x,y) = (y,0).
O objetivo é encontrar os autovalores e autovetores de A e verificar se existe uma matriz inversível P tal que P^{-1}AP seja diagonal. O conteúdo principal é álgebra linear: representação matricial, polinômio característico, espaço próprio e critério de diagonalização.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de A na base canônica \{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}. Para isso, observamos:
A(e_1) = A(1,0) = (0,0), \quad A(e_2) = A(0,1) = (1,0).
Logo, a matriz de A é
[A] = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico de [A] é
\det\bigl([A] - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\\\ 0 & -\lambda \end{pmatrix} = (-\lambda)^2 = \lambda^2.
Portanto, o único autovalor, com multiplicidade algébrica 2, é
\lambda = 0.

Passo 4

Para encontrar o espaço próprio associado a \lambda=0, resolvemos
(A - 0\cdot I)(x,y) = (y,0) = (0,0),
o que impõe y=0. Assim, o espaço próprio E_0 é
E_0 = \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
de dimensão 1. Portanto, os autovetores (não nulos) são todos os vetores da forma (x,0).

Passo 5

Para que A seja diagonalizável, a dimensão do espaço próprio de cada autovalor deve igualar sua multiplicidade algébrica. Aqui o autovalor \lambda=0 tem multiplicidade algébrica 2, mas a dimensão de E_0 é 1. Logo, A não é diagonalizável.

Resposta

Autovalor: \lambda=0 (multiplicidade 2).
Espaço próprio: E_0=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Não existe P inversível tal que P^{-1}AP seja diagonal.

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