Seja A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 2 & 2\end{array}\right]. Determine os autovalores, autovetores e uma matriz P tal que P^{-1} A P seja diagonal.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix}
e pede (i) os autovalores de A, (ii) vetores próprios correspondentes e (iii) uma matriz P tal que
P^{-1} A\,P
seja diagonal. Para isso vamos usar o polinômio característico de A, depois resolver (A-\lambda I)v=0 para cada autovalor \lambda e, por fim, montar P com os vetores próprios como colunas.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\\ 2 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda) - 2.
Expandindo,
(3-\lambda)(2-\lambda)-2 = 6 -5\lambda + \lambda^2 -2 = \lambda^2 -5\lambda +4.
As raízes de
\lambda^2 -5\lambda +4 = 0
são \lambda=1 e \lambda=4. Esses são os autovalores de A.

Passo 3

Para \lambda=1 resolvemos (A - I)v=0:
\begin{pmatrix}3-1 & 1\\\ 2 & 2-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso leva a 2x + y = 0, logo y = -2x. Tomando x=1, um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
Para \lambda=4 resolvemos (A - 4I)v=0:
\begin{pmatrix}3-4 & 1\\\ 2 & 2-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 2 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
que dá -x + y = 0, ou seja y=x. Tomando x=1, obtemos
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Colocamos esses vetores próprios como colunas de P:
P = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.
Então a matriz diagonal é
D = P^{-1} A\,P = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 4\end{pmatrix},
onde explicitamente
P^{-1} = \frac{1}{(1)(1)-(-2)(1)}\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=4. Vetores próprios correspondentes são
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}, \quad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Uma escolha de P que diagonaliza A é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -2 & 1\end{pmatrix},
com
P^{-1}AP = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&4\end{pmatrix}.

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