Mostre que todo operador linear de posto 1 \mathrm{em} \mathbb{R}^{n} possui um autovetor cujo autovalor é igual ao traço do operador.

Passo 1

O enunciado fala de um operador linear T\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n de posto 1. Queremos mostrar que existe um vetor não nulo v tal que
T(v)=\lambda\,v
com \lambda=\tr(T). Os conceitos que vamos usar são: imagem de um operador de posto 1 é um subespaço unidimensional, podemos escrever T como produto de um funcional linear por um vetor fixo, e calcular a matriz de T em base conveniente para achar o traço.

Passo 2

Como \rank(T)=1, a imagem de T é uma reta em \mathbb{R}^n. Escolha um vetor não nulo u\in\Im(T). Então, para cada x\in\mathbb{R}^n, existe escalar único f(x)\in\mathbb{R} tal que
T(x)=f(x)\,u.
Definindo
f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\quad x\mapsto f(x),
vemos que f é linear porque T é linear e u\neq0. Assim
T(x)=f(x)\,u
é a representação de T como operador de posto 1.

Passo 3

Vamos calcular \tr(T). Complete u a uma base de \mathbb{R}^n, digamos \{u,e_2,\dots,e_n\}. Em relação a essa base, para cada índice j temos
T(e_j)=f(e_j)\,u,
ou seja, a única linha não nula da matriz de T é a primeira (a que corresponde a u). Em particular, o único elemento na diagonal dessa matriz é
M_{11}=f(u),
logo
\tr(T)=\sum_{i=1}^n M_{ii}=M_{11}=f(u).

Passo 4

Agora observe que
T(u)=f(u)\,u.
Pelo passo anterior, f(u)=\tr(T). Logo
T(u)=\tr(T)\,u,
ou seja, u é autovetor de T com autovalor \tr(T).

Resposta

Mostramos que existe um vetor não nulo u\in\mathbb{R}^n tal que
T(u)=\tr(T)\,u,
ou seja, u é autovetor de T cujo autovalor é exatamente \tr(T).

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