Mostre que todo operador linear de posto
possui um autovetor cujo autovalor é igual ao traço do operador.
Passo 1
O enunciado fala de um operador linear
de posto
. Queremos mostrar que existe um vetor não nulo
tal que
com
. Os conceitos que vamos usar são: imagem de um operador de posto 1 é um subespaço unidimensional, podemos escrever
como produto de um funcional linear por um vetor fixo, e calcular a matriz de
em base conveniente para achar o traço.
Passo 2
Como
, a imagem de
é uma reta em
. Escolha um vetor não nulo
. Então, para cada
, existe escalar único
tal que
Definindo
vemos que
é linear porque
é linear e
. Assim
é a representação de
como operador de posto 1.
Passo 3
Vamos calcular
. Complete
a uma base de
, digamos
. Em relação a essa base, para cada índice
temos
ou seja, a única linha não nula da matriz de
é a primeira (a que corresponde a
). Em particular, o único elemento na diagonal dessa matriz é
logo
Passo 4
Agora observe que
Pelo passo anterior,
. Logo
ou seja,
é autovetor de
com autovalor
.
Resposta
Mostramos que existe um vetor não nulo
tal que
ou seja,
é autovetor de
cujo autovalor é exatamente
.