Seja A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por A(x, y, z)=(x+2 y+3 z, 4 y+6 z,-y-z). Obtenha dois autovetores linearmente independentes de A.
Passo 1
O enunciado pede dois autovetores linearmente independentes do operador linear A\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
Para isso, vamos obter a matriz de A na base canônica, calcular seus autovalores resolvendo o polinômio característico e depois encontrar, para pelo menos dois desses autovalores, vetores não nulos que satisfazem (A-\lambda I)v=0.
Passo 2
Na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}, a matriz de A é
Os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=2.
Passo 4
Para \lambda=1\) resolvemos \((M - I)v=0\), isto é
\[\begin{cases} 2y + 3z = 0,\\\\ 3y + 6z = 0,\\\\ -\,y -2z = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem y = -2z\]. Substituindo em \(2y+3z=0 dá -4z+3z=0\Rightarrow z=0, então y=0 e x fica livre. Um autovetor associado a \lambda=1 é, por exemplo,
v_{1} = (1,0,0).
Passo 5
Para \lambda=2\) resolvemos \((M - 2I)v=0\), isto é
\[\begin{cases} -\,x + 2y + 3z = 0,\\\\ 2y + 6z = 0,\\\\ -\,y -3z = 0. \end{cases}
Da segunda ou da terceira equação segue y=-3z\]. Então \(x = 2y+3z = 2(-3z)+3z = -3z. Tomando z=1, obtemos o autovetor
v_{2} = (-3,\,-3,\,1).
Resposta
Os dois autovetores linearmente independentes podem ser escolhidos como \,v_{1} = (1,0,0) e \,v_{2} = (-3,-3,1).