Seja A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por A(x, y, z)=(x+2 y+3 z, 4 y+6 z,-y-z). Obtenha dois autovetores linearmente independentes de A.

Passo 1

O enunciado pede dois autovetores linearmente independentes do operador linear A\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
A(x,y,z) = (\,x + 2y + 3z,\;4y + 6z,\;-\,y - z\,).
Para isso, vamos obter a matriz de A na base canônica, calcular seus autovalores resolvendo o polinômio característico e depois encontrar, para pelo menos dois desses autovalores, vetores não nulos que satisfazem (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}, a matriz de A é
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 4 & 6 \\\\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico \det(M - \lambda I):
\det\bigl(M - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 4-\lambda & 6\\\\ 0 & -1 & -1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\bigl((4-\lambda)(-1-\lambda)-6\cdot(-1)\bigr).
Dentro do parêntese:
(4-\lambda)(-1-\lambda)-6(-1) = (-4 -3\lambda +\lambda^2)+6 = \lambda^2 -3\lambda +2 = (\lambda-1)(\lambda-2).
Logo,
\det(M-\lambda I) = (1-\lambda)\,(\lambda-1)(\lambda-2) = -(\lambda-1)^2(\lambda-2).
Os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=2.

Passo 4

Para \lambda=1\) resolvemos \((M - I)v=0\), isto é \[\begin{cases} 2y + 3z = 0,\\\\ 3y + 6z = 0,\\\\ -\,y -2z = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem y = -2z\]. Substituindo em \(2y+3z=0 -4z+3z=0\Rightarrow z=0, então y=0 e x fica livre. Um autovetor associado a \lambda=1 é, por exemplo,
v_{1} = (1,0,0).

Passo 5

Para \lambda=2\) resolvemos \((M - 2I)v=0\), isto é \[\begin{cases} -\,x + 2y + 3z = 0,\\\\ 2y + 6z = 0,\\\\ -\,y -3z = 0. \end{cases}
Da segunda ou da terceira equação segue y=-3z\]. Então \(x = 2y+3z = 2(-3z)+3z = -3z. Tomando z=1, obtemos o autovetor
v_{2} = (-3,\,-3,\,1).

Resposta

Os dois autovetores linearmente independentes podem ser escolhidos como
\,v_{1} = (1,0,0) e \,v_{2} = (-3,-3,1).

Exercícios relacionados