Questão 4 (3 pontos).

Determine o núcleo e image da seguinte TL F: R^3 R^3,(x, y, z) mapsto(x+y, y+z, z+x)

Solução:

O núcleo da TL é o conjunto de vetores do domínio tais que F(v)=o, então procuramos vetores tais que
(x+y, y+z, z+x)=(0,0,0)
cuja solução é x=y=z=0. Portanto ker(F)=o.
A imagem da TL é o conjunto de vetores da imagem F(v), os quais podem ser expressos na forma
(x+y, y+z, z+x)=x(1,0,1)+y(1,1,0)+z(0,1,1)
então Im(F)=[(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)]=R^3.

Passo 1

Temos uma transformação linear F: R^3toR^3 dada por F(x,y,z)=(x+y,;y+z,;z+x). O objetivo é encontrar o núcleo (kernel) e a imagem (image) de F, usando conceitos de subespaços, resolução de sistemas lineares homogêneos e span de vetores.

Passo 2

O núcleo de F é o conjunto de vetores (x,y,z) tais que F(x,y,z)=(0,0,0). Assim, resolvemos o sistema homogêneo:
x+y=0 y+z=0 z+x=0
Das duas primeiras equações temos y=-x e z=-y=x. Substituindo na terceira: z+x= x+x=2x=0, logo x=0. Então y=z=0 e a única solução é o vetor nulo. Portanto o kernel é
ker(F)=(0,0,0).

Passo 3

A imagem de F é o span dos vetores gerados pelos vetores da base canônica. Calculamos:
F(e1)=F(1,0,0)=(1,0,1), F(e2)=F(0,1,0)=(1,1,0), F(e3)=F(0,0,1)=(0,1,1)
Para verificar que esses vetores geram R^3, montamos a matriz cujas colunas são F(e1),F(e2),F(e3) e checamos o determinante:
A=1 & 1 & 00 & 1 & 11 & 0 & 1,det(A)=2neq0
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes e formam base de R^3. Logo
Im(F)=span(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)=R^3.

Resposta

ker(F)=(0,0,0) e Im(F)=R^3

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