e definido pela reflexão através do plano . é diagonalizável? Se for, encontre as matrizes e tais que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois operadores lineares $ T $ e $ S $ que atuam no espaço $ \mathbb{R}^3 $. O operador $ T $ é definido por $ T(x, y, z) = (5x + 4z, x - 5y, 3z) $ e $ S $ é uma reflexão através do plano $ \pi: x + 2z = 0 $. Precisamos verificar se a composição $ S \circ T $ é diagonalizável. Se for, devemos encontrar as matrizes $ D $ e $ P $ que satisfazem $ D = P^{-1}[S \circ T]P $. Para resolver isso, vamos precisar entender de transformações lineares, matrizes, diagonalização, autovalores e autovetores.
Passo 2
Vamos começar encontrando a matriz das transformações $ T $ e $ S $. O operador $ T $ está definido por:
Podemos representar $ T $ como uma matriz $ A $:
Agora, vamos encontrar a matriz de $ S $, que é uma reflexão através do plano $ \pi: x + 2z = 0 $. A matriz de reflexão em relação a um plano $ ax + by + cz = 0 $ é dada por:
T
onde $ v $ é o vetor normal ao plano. No nosso caso, o vetor normal é $ v = T(x, y, z) = (5x + 4z, x - 5y, 3z) $.
Passo 3
Vamos calcular a matriz $ S $. Primeiro, vamos normalizar $ v $:
S
Então,
v
Simplificando:
v cdot v = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 5
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz da composição $ S \circ T $, que é o produto das matrizes $ S $ e $ T $:
S circ T
Calculando cada entrada:
S
Passo 5
Agora que temos a matriz de $ S \circ T $:
S circ T
Vamos verificar se essa matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se existir uma base de autovetores, ou seja, se tiver três autovalores distintos ou, no caso de autovalores repetidos, se a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica.
Passo 6
Vamos encontrar os autovalores de $ S \circ T $ calculando o polinômio característico:
S circ T
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Daqui, $ x = 0 $. As variáveis $ y $ e $ z $ são livres, então os autovetores são da forma $ 8 1 -4 $. Escolhemos dois autovetores linearmente independentes, por exemplo:
lambda = -5
Passo 8
Como encontramos três autovetores linearmente independentes (um para $ \lambda = 3 $ e dois para $ \lambda = -5 $), a matriz $ S \circ T $ é diagonalizável.
Agora, construímos a matriz $ P $ com os autovetores como colunas e a matriz $ D $ com os autovalores na diagonal:
lambda = 3
Resposta
Sim, $ S \circ T $ é diagonalizável. As matrizes $ D $ e $ P $ que satisfazem $ D = P^{-1}[S \circ T]P $ são: