Considere os operadores lineares T: R^3 R^3, definido por
T(x, y, z)=(5 x+4 z, x-5 y, 3 z)
e S: R^3 R^3 definido pela reflexão através do plano pi: x+2 z=0.
S circ T é diagonalizável? Se for, encontre as matrizes D e P tais que D=P^-1[S circ T] P.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois operadores lineares $ T $ e $ S $ que atuam no espaço $ \mathbb{R}^3 $. O operador $ T $ é definido por $ T(x, y, z) = (5x + 4z, x - 5y, 3z) $ e $ S $ é uma reflexão através do plano $ \pi: x + 2z = 0 $. Precisamos verificar se a composição $ S \circ T $ é diagonalizável. Se for, devemos encontrar as matrizes $ D $ e $ P $ que satisfazem $ D = P^{-1}[S \circ T]P $. Para resolver isso, vamos precisar entender de transformações lineares, matrizes, diagonalização, autovalores e autovetores.

Passo 2

Vamos começar encontrando a matriz das transformações $ T $ e $ S $. O operador $ T $ está definido por:
T
Podemos representar $ T $ como uma matriz $ A $:
S
Agora, vamos encontrar a matriz de $ S $, que é uma reflexão através do plano $ \pi: x + 2z = 0 $. A matriz de reflexão em relação a um plano $ ax + by + cz = 0 $ é dada por:
T
onde $ v $ é o vetor normal ao plano. No nosso caso, o vetor normal é $ v = T(x, y, z) = (5x + 4z, x - 5y, 3z) $.

Passo 3

Vamos calcular a matriz $ S $. Primeiro, vamos normalizar $ v $:
S
Então,
v
Simplificando:
v cdot v = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 5

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz da composição $ S \circ T $, que é o produto das matrizes $ S $ e $ T $:
S circ T
Calculando cada entrada:
S

Passo 5

Agora que temos a matriz de $ S \circ T $:
S circ T
Vamos verificar se essa matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se existir uma base de autovetores, ou seja, se tiver três autovalores distintos ou, no caso de autovalores repetidos, se a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica.

Passo 6

Vamos encontrar os autovalores de $ S \circ T $ calculando o polinômio característico:
S circ T
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(S circ T - lambda I) = det 3 - lambda & 0 & 0 1 & -5 - lambda & 0 -4 & 0 & -5 - lambda
Igualando a zero:
(3 - lambda)(-5 - lambda)^2
Portanto, os autovalores são $ \lambda_1 = 3 $ e $ \lambda_2 = -5 $ com multiplicidade 2.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para $ \lambda = 3 $:
Resolvemos $ (S \circ T - 3I)v = 0 $:
lambda = 3
Isso resulta em:
(S circ T - 3I)v = 0
Da primeira equação, $ x = 8y $. Substituindo na segunda:
0 & 0 & 0 1 & -8 & 0 -4 & 0 & -8 x y z = 0 0 0
Então, o autovetor é proporcional a $ x - 8y = 0 -4x - 8z = 0 $.
Para $ \lambda = -5 $:
Resolvemos $ (S \circ T + 5I)v = 0 $:
x = 8y
Isso resulta em:
-4(8y) - 8z = 0 Rightarrow -32y - 8z = 0 Rightarrow z = -4y
Daqui, $ x = 0 $. As variáveis $ y $ e $ z $ são livres, então os autovetores são da forma $ 8 1 -4 $. Escolhemos dois autovetores linearmente independentes, por exemplo:
lambda = -5

Passo 8

Como encontramos três autovetores linearmente independentes (um para $ \lambda = 3 $ e dois para $ \lambda = -5 $), a matriz $ S \circ T $ é diagonalizável.
Agora, construímos a matriz $ P $ com os autovetores como colunas e a matriz $ D $ com os autovalores na diagonal:
lambda = 3

Resposta

Sim, $ S \circ T $ é diagonalizável. As matrizes $ D $ e $ P $ que satisfazem $ D = P^{-1}[S \circ T]P $ são:
S circ T

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