Seja
com produto interno usual. Considere a base
. Encontre uma base ortonormal para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base ortonormal para o espaço $ V = \mathbb{R}^{3} $ com o produto interno usual, partindo da base
. Isso significa que queremos um conjunto de três vetores que sejam todos perpendiculares entre si e que tenham norma igual a 1. Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Processo de Gram-Schmidt. Esse processo pega um conjunto de vetores linearmente independentes e os transforma em um conjunto de vetores ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si). Depois, normalizamos cada vetor para que tenham norma 1, formando assim uma base ortonormal.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor da base
, que é $ v_1 = (1,1,1) $. O primeiro vetor da base ortonormal será o vetor unitário na direção de $ v_1 $. Para isso, calculamos a norma de $ v_1 $:
Então, o primeiro vetor ortonormal $ e_1 $ é:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo vetor da base
, que é $ v_2 = (0,0,1) $. Precisamos torná-lo ortogonal a $ e_1 $. Para isso, calculamos a projeção de $ v_2 $ em $ e_1 $:
Calculando o produto interno $ v_2 \cdot e_1 $:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de $ v_2 $ para obter $ u_2 $:
Passo 5
Vamos agora normalizar $ u_2 $ para obter o segundo vetor ortonormal $ e_2 $. Primeiro, calculamos a norma de $ u_2 $:
Então,
Passo 6
Finalmente, vamos para o terceiro vetor da base
, que é $ v_3 = (1,0,0) $. Precisamos que ele seja ortogonal a $ e_1 $ e $ e_2 $. Primeiro, calculamos a projeção de $ v_3 $ em $ e_1 $ e $ e_2 $:
Agora, subtraímos essas projeções de $ v_3 $ para obter $ u_3 $:
Passo 7
Vamos normalizar $ u_3 $ para obter o terceiro vetor ortonormal $ e_3 $. Calculamos a norma de $ u_3 $:
Então,
Resposta
A base ortonormal para $ V = \mathbb{R}^{3} $ é: