Considere os operadores lineares T: R^3 R^3, definido por
T(x, y, z)=(5 x+4 z, x-5 y, 3 z)
e S: R^3 R^3 definido pela reflexão através do plano pi: x+2 z=0.
Determine S circ T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois operadores lineares aqui:
  1. Operador T: T transforma um vetor (x, y, z) em (5x + 4z, x - 5y, 3z).
  2. Operador S: S é uma reflexão em relação ao plano pi definido por x + 2z = 0.
O que a gente precisa fazer é compor esses operadores, ou seja, encontrar S circ T. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre operadores lineares e reflexões em planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a composição S circ T. Isso quer dizer que primeiro aplicamos o operador T a um vetor, e depois aplicamos o operador S no resultado. Ou seja:
(S circ T)(v) = S(T(v))
Então, nosso objetivo é descobrir qual é a transformação resultante dessa composição.

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz do operador T. Já sabemos como T age nos vetores, então podemos escrever sua matriz:
T = 5 & 0 & 4 1 & -5 & 0 0 & 0 & 3
Cada coluna dessa matriz representa como T transforma os vetores da base canônica.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz do operador S, que é uma reflexão em relação ao plano x + 2z = 0. Para isso, precisamos entender a fórmula geral da reflexão em um plano.
A fórmula para refletir um vetor v em relação a um plano ax + by + cz = 0 é:
S(v) = v - 2 a vx + b vy + c vza^2 + b^2 + c^2 a b c
No nosso caso, o plano é x + 2z = 0, então a = 1, b = 0, e c = 2. Substituindo na fórmula:
S(v) = v - 2 1 cdot vx + 0 cdot vy + 2 cdot vz1^2 + 0^2 + 2^2 1 0 2 = v - 2(vx + 2vz)5 1 0 2

Passo 5

Simplificando a expressão da reflexão, temos:
S(v) = vx vy vz - 2(vx + 2vz)5 1 0 2 = vx - 2(vx + 2vz)5 vy vz - 4(vx + 2vz)5
Isso nos dá a matriz do operador S:
S = 1 - 25 & 0 & -45 0 & 1 & 0 -25 & 0 & 1 - 85 = 35 & 0 & -45 0 & 1 & 0 -25 & 0 & -35

Passo 6

Agora que temos as matrizes de T e S, podemos calcular a composição S circ T multiplicando as matrizes na ordem correta. Lembrando que a multiplicação de matrizes é feita linha por coluna.
S circ T = S cdot T = 35 & 0 & -45 0 & 1 & 0 -25 & 0 & -35 cdot 5 & 0 & 4 1 & -5 & 0 0 & 0 & 3
Vamos multiplicar cada elemento:
  • Primeira linha da S multiplicada pela primeira coluna da T:
    35 cdot 5 + 0 cdot 1 + (-45) cdot 0 = 3 + 0 + 0 = 3
  • Primeira linha da S multiplicada pela segunda coluna da T:
    35 cdot 0 + 0 cdot (-5) + (-45) cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Primeira linha da S multiplicada pela terceira coluna da T:
    35 cdot 4 + 0 cdot 0 + (-45) cdot 3 = 125 + 0 - 125 = 0
  • Segunda linha da S multiplicada por cada coluna da T:
    0 cdot 5 + 1 cdot 1 + 0 cdot 0 = 0 + 1 + 0 = 1
    0 cdot 0 + 1 cdot (-5) + 0 cdot 0 = 0 - 5 + 0 = -5
    0 cdot 4 + 1 cdot 0 + 0 cdot 3 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Terceira linha da S multiplicada por cada coluna da T:
    (-25) cdot 5 + 0 cdot 1 + (-35) cdot 0 = -2 + 0 + 0 = -2
    (-25) cdot 0 + 0 cdot (-5) + (-35) cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0
    (-25) cdot 4 + 0 cdot 0 + (-35) cdot 3 = -85 + 0 - 95 = -175

Passo 7

Juntando todos os resultados, a matriz de S circ T fica:
S circ T = 3 & 0 & 0 1 & -5 & 0 -2 & 0 & -175

Resposta

A composição S circ T é o operador linear representado pela matriz:
S circ T = 3 & 0 & 0 1 & -5 & 0 -2 & 0 & -175

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