e definido pela reflexão através do plano .
Determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois operadores lineares aqui:
Operador T: T transforma um vetor em .
Operador S: S é uma reflexão em relação ao plano definido por .
O que a gente precisa fazer é compor esses operadores, ou seja, encontrar . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre operadores lineares e reflexões em planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a composição . Isso quer dizer que primeiro aplicamos o operador T a um vetor, e depois aplicamos o operador S no resultado. Ou seja:
Então, nosso objetivo é descobrir qual é a transformação resultante dessa composição.
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz do operador T. Já sabemos como T age nos vetores, então podemos escrever sua matriz:
Cada coluna dessa matriz representa como T transforma os vetores da base canônica.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz do operador S, que é uma reflexão em relação ao plano x + 2z = 0. Para isso, precisamos entender a fórmula geral da reflexão em um plano.
A fórmula para refletir um vetor v em relação a um plano ax + by + cz = 0 é:
S(v) = v - 2 a vx + b vy + c vza^2 + b^2 + c^2 a b c
No nosso caso, o plano é x + 2z = 0, então a = 1, b = 0, e c = 2. Substituindo na fórmula:
Agora que temos as matrizes de T e S, podemos calcular a composição S circ T multiplicando as matrizes na ordem correta. Lembrando que a multiplicação de matrizes é feita linha por coluna.
S circ T = S cdot T = 35 & 0 & -45 0 & 1 & 0 -25 & 0 & -35 cdot 5 & 0 & 4 1 & -5 & 0 0 & 0 & 3
Vamos multiplicar cada elemento:
Primeira linha da S multiplicada pela primeira coluna da T: