Dada uma transformação linear T: U U, considere a seguinte afirmação:
Se u1, ldots ur for uma base de Ker T ew1, ldots, wk for uma base de Im T, então u1, ldots ur, w1, ldots, wk será base de U.
  • Dê um exemplo de transformação linear T que satisfaz a afirmação com dim Ker T neq 0 neq dim Im T.
  • Mostre, exibindo um exemplo, que nem toda trasformação linear satisfaz a afirmação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares e como as bases do núcleo ( Ker T) e da imagem ( Im T) podem formar uma base para o espaço U. Para resolvermos isso, precisamos entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear, além de saber como combinar suas bases para formar uma nova base para U.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função T: U U que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores u, v in U e escalar c, temos:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u)

Passo 3

Agora, Ker T (núcleo de T) é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero:
Ker T = u in U mid T(u) = 0
A Im T (imagem de T) é o conjunto de todos os vetores que podem ser alcançados por T:
Im T = T(u) mid u in U

Passo 4

Para formar uma base para U usando as bases de Ker T e Im T, precisamos que a união dessas bases seja um conjunto linearmente independente que gera todo o espaço U.

Passo 5

Vamos primeiro dar um exemplo que satisfaz a afirmação:
Considere a transformação linear T: R^2 R^2 definida por:
T(x, y) = (x, 0)
Analisando o núcleo e a imagem:
  • Núcleo ( Ker T):
T(x, y) = (x, 0) = (0, 0) implies x = 0
Então, Ker T = (0, y) mid y in R . Uma base para o núcleo é (0, 1) .
  • Imagem ( Im T):
Im T = (x, 0) mid x in R
Uma base para a imagem é (1, 0) .
União das bases:
(0, 1), (1, 0)
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo R^2. Portanto, a afirmação é satisfeita nesse caso.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que nem toda transformação linear satisfaz a afirmação. Para isso, vamos encontrar um exemplo onde a união das bases de Ker T e Im T não forma uma base para U.
Considere a transformação linear T: R^2 R^2 definida por:
T(x, y) = (0, x)
Analisando o núcleo e a imagem:
  • Núcleo ( Ker T):
T(x, y) = (0, x) = (0, 0) implies x = 0
Então, Ker T = (0, y) mid y in R . Uma base para o núcleo é (0, 1) .
  • Imagem ( Im T):
Im T = (0, x) mid x in R
Uma base para a imagem é (0, 1) .
União das bases:
(0, 1), (0, 1)
Aqui, temos dois vetores iguais, o que significa que não são linearmente independentes. Além disso, eles não conseguem gerar todo R^2 (apenas a linha y-direita). Portanto, a união das bases não forma uma base para U, mostrando que a afirmação nem sempre é válida.

Resposta

  • Exemplo que satisfaz a afirmação: A transformação T(x, y) = (x, 0) em R^2.
  • Exemplo que não satisfaz a afirmação: A transformação T(x, y) = (0, x) em R^2.

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