Dada uma transformação linear
, considere a seguinte afirmação:
Se
for uma base de
for uma base de Im
, então
será base de
.
- Dê um exemplo de transformação linear
que satisfaz a afirmação com
.
- Mostre, exibindo um exemplo, que nem toda trasformação linear satisfaz a afirmação.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares e como as bases do núcleo (
) e da imagem (
) podem formar uma base para o espaço
. Para resolvermos isso, precisamos entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear, além de saber como combinar suas bases para formar uma nova base para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função
que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores
e escalar
, temos:
Passo 3
Agora,
(núcleo de
) é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero:
A
(imagem de
) é o conjunto de todos os vetores que podem ser alcançados por
:
Passo 4
Para formar uma base para
usando as bases de
e
, precisamos que a união dessas bases seja um conjunto linearmente independente que gera todo o espaço
.
Passo 5
Vamos primeiro dar um exemplo que satisfaz a afirmação:
Considere a transformação linear
definida por:
Analisando o núcleo e a imagem:
- Núcleo (
):
Então,
. Uma base para o núcleo é
.
- Imagem (
):
Uma base para a imagem é
.
União das bases:
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo
. Portanto, a afirmação é satisfeita nesse caso.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que nem toda transformação linear satisfaz a afirmação. Para isso, vamos encontrar um exemplo onde a união das bases de
e
não forma uma base para
.
Considere a transformação linear
definida por:
Analisando o núcleo e a imagem:
- Núcleo (
):
Então,
. Uma base para o núcleo é
.
- Imagem (
):
Uma base para a imagem é
.
União das bases:
Aqui, temos dois vetores iguais, o que significa que não são linearmente independentes. Além disso, eles não conseguem gerar todo
(apenas a linha
-direita). Portanto, a união das bases não forma uma base para
, mostrando que a afirmação nem sempre é válida.
Resposta
- Exemplo que satisfaz a afirmação: A transformação
em . - Exemplo que não satisfaz a afirmação: A transformação
em .