Considere os operadores lineares do R^3 definidos por T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z) e S(x, y, z)=(x, x-y, 2 x+y-z). Verifique quais dos operadores lineares acima são isomorfismos e os que forem, determinar o isomorfismo inverso. Caso negativo ache uma base para Ker(T) e Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se os operadores lineares T e S em R^3 são isomorfismos. Se forem, precisamos encontrar o inverso deles. Se não forem, devemos achar uma base para o núcleo ( Ker ) e para a imagem ( Im ) de cada operador. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o operador T . Ele é definido por:
T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z)
Para verificar se T é um isomorfismo, precisamos ver se ele é invertível. Em termos de matrizes, isso significa que a matriz associada a T deve ter determinante diferente de zero.

Passo 3

Vamos escrever a matriz de T . Cada coluna corresponde às imagens dos vetores da base canônica:
AT = 1 & -3 & -2 0 & 1 & -4 0 & 0 & 1
Agora, calculamos o determinante de AT :
det(AT) = 1 times (1 times 1 - (-4) times 0) - (-3) times (0 times 1 - (-4) times 0) + (-2) times (0 times 0 - 1 times 0) = 1 times 1 = 1
Como det(AT) = 1 neq 0 , o operador T é um isomorfismo.

Passo 4

Como T é um isomorfismo, vamos encontrar a matriz inversa AT^-1 . Para uma matriz triangular superior com determinante diferente de zero, a inversa também será triangular. Podemos usar métodos como eliminação de Gauss ou fórmulas específicas para matrizes triangulares.
Após calcular, a matriz inversa é:
AT^-1 = 1 & 3 & 14 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1
Portanto, o operador inverso T^-1 é dado por:
T^-1(a, b, c) = (a + 3b + 14c, b + 4c, c)

Passo 5

Agora, vamos analisar o operador S , definido por:
S(x, y, z) = (x, x - y, 2x + y - z)
Vamos verificar se S é um isomorfismo seguindo os mesmos passos.

Passo 6

Escrevemos a matriz de S :
AS = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 2 & 1 & -1
Calculamos o determinante de AS :
det(AS) = 1 times (-1 times (-1) - 0 times 1) - 0 times (1 times (-1) - 0 times 2) + 0 times (1 times 1 - (-1) times 2) = 1 times 1 = 1
Como det(AS) = 1 neq 0 , o operador S também é um isomorfismo.

Passo 7

Vamos encontrar a matriz inversa AS^-1 :
AS^-1 = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 2 & 1 & -1 ^-1
Usando métodos de inversão, obtemos:
AS^-1 = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 2 & 1 & -1
Portanto, o operador inverso S^-1 é dado por:
S^-1(a, b, c) = (a, a - b, 2a + b - c)

Resposta

Ambos os operadores lineares T e S são isomorfismos em R^3 , pois possuem determinantes diferentes de zero. Os inversos são:
  • Para T :
T^-1(a, b, c) = (a + 3b + 14c, b + 4c, c)
  • Para S :
S^-1(a, b, c) = (a, a - b, 2a + b - c)

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