Considere os operadores lineares do definidos por e . Verifique quais dos operadores lineares acima são isomorfismos e os que forem, determinar o isomorfismo inverso. Caso negativo ache uma base para e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se os operadores lineares e em são isomorfismos. Se forem, precisamos encontrar o inverso deles. Se não forem, devemos achar uma base para o núcleo () e para a imagem () de cada operador. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o operador . Ele é definido por:
Para verificar se é um isomorfismo, precisamos ver se ele é invertível. Em termos de matrizes, isso significa que a matriz associada a deve ter determinante diferente de zero.
Passo 3
Vamos escrever a matriz de . Cada coluna corresponde às imagens dos vetores da base canônica:
Agora, calculamos o determinante de AT :
det(AT) = 1 times (1 times 1 - (-4) times 0) - (-3) times (0 times 1 - (-4) times 0) + (-2) times (0 times 0 - 1 times 0) = 1 times 1 = 1
Como det(AT) = 1 neq 0 , o operador T é um isomorfismo.
Passo 4
Como T é um isomorfismo, vamos encontrar a matriz inversa AT^-1 . Para uma matriz triangular superior com determinante diferente de zero, a inversa também será triangular. Podemos usar métodos como eliminação de Gauss ou fórmulas específicas para matrizes triangulares.
Após calcular, a matriz inversa é:
AT^-1 = 1 & 3 & 14 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1
Portanto, o operador inverso T^-1 é dado por:
T^-1(a, b, c) = (a + 3b + 14c, b + 4c, c)
Passo 5
Agora, vamos analisar o operador S , definido por:
S(x, y, z) = (x, x - y, 2x + y - z)
Vamos verificar se S é um isomorfismo seguindo os mesmos passos.
Passo 6
Escrevemos a matriz de S :
AS = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 2 & 1 & -1
Calculamos o determinante de AS :
det(AS) = 1 times (-1 times (-1) - 0 times 1) - 0 times (1 times (-1) - 0 times 2) + 0 times (1 times 1 - (-1) times 2) = 1 times 1 = 1
Como det(AS) = 1 neq 0 , o operador S também é um isomorfismo.
Passo 7
Vamos encontrar a matriz inversa AS^-1 :
AS^-1 = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 2 & 1 & -1 ^-1
Usando métodos de inversão, obtemos:
AS^-1 = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 2 & 1 & -1
Portanto, o operador inverso S^-1 é dado por:
S^-1(a, b, c) = (a, a - b, 2a + b - c)
Resposta
Ambos os operadores lineares T e S são isomorfismos em R^3 , pois possuem determinantes diferentes de zero. Os inversos são: