Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ]
Considere as bases B=(1,1,0),(0,1,0),(1,0,1) e B^prime=(1,0,-1),(2,1,0),(0,1,1).
Determine a matriz de T em relação às bases B e B^prime.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear Tcolon R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ,
as bases de entrada e saída são
B = b1=(1,1,0),,b2=(0,1,0),,b3=(1,0,1), B' = b'1=(1,0,-1),,b'2=(2,1,0),,b'3=(0,1,1)
Para encontrar a matriz de T de B em B', basta calcular para cada j o vetor T(bj) em coordenadas canônicas e depois reescrevê-lo como combinação linear dos vetores de B'; esses coeficientes formam a coluna j.

Passo 2

Calcular T(bj)=A,bj em coordenadas canônicas:
T(b1)=A110 =2-1-1+2-1-1 =11-2,
T(b2)=A010 =-12-1,
T(b3)=A101 =2-1-1-1-1+2 =1-21

Passo 3

Para cada vetor
ou seja
e obtemos da matriz de em .

Passo 4

Para
Daqui vem ((c_1,c_2,c_3) = (5,,-2,,3)], que é a coluna 1.

Passo 5

Para
Resolvendo, obtemos ((c_1,c_2,c_3) = (7,,-4,,6)], que é a coluna 2.

Passo 6

Para
Resolvendo, obtemos ((c_1,c_2,c_3) = (-7,,4,,-6)], que é a coluna 3.

Passo 7

Juntando as colunas encontradas, a matriz de T de B em B' é
[T]B',B = 5 & 7 & -7 -2 & -4 & 4 3 & 6 & -6

Resposta

[T]B',B = 5 & 7 & -7 -2 & -4 & 4 3 & 6 & -6

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