Se T: V W é uma transformação linear, mostre que Im(T) e Nuc(T) são subespaços vetoriais de W e V respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se T: V W é uma transformação linear, então Im(T) (a imagem de T ) é um subespaço de W e Nuc(T) (o núcleo de T ) é um subespaço de V .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais, imagem e núcleo de uma transformação linear. Um subespaço vetorial é basicamente um conjunto que satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos verificar essas condições para a imagem e o núcleo de T .

Passo 2

Primeiramente, vamos falar sobre a imagem de T , ou seja, Im(T) = T(v) mid v in V . Queremos mostrar que esse conjunto é um subespaço de W .
1. Contém o vetor zero:
Como T é linear, T(0) = 0 . Portanto, o vetor zero de W está na imagem de T .
2. Fechado sob adição:
Se u e v estão em Im(T) , então existem x e y em V tais que T(x) = u e T(y) = v . Então, u + v = T(x) + T(y) = T(x + y) , que também está em Im(T) .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se u está em Im(T) e c é um escalar, então u = T(v) para algum v em V . Assim, c cdot u = c cdot T(v) = T(c cdot v) , que está em Im(T) .
Como todas as três condições são atendidas, Im(T) é um subespaço de W .

Passo 3

Agora, vamos analisar o núcleo de T , ou seja, Nuc(T) = v in V mid T(v) = 0 . Queremos mostrar que esse conjunto é um subespaço de V .
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero de V está no núcleo porque T(0) = 0 .
2. Fechado sob adição:
Se u e v estão em Nuc(T) , então T(u) = 0 e T(v) = 0 . Assim, T(u + v) = T(u) + T(v) = 0 + 0 = 0 , então u + v está no núcleo.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se u está em Nuc(T) e c é um escalar, então T(c cdot u) = c cdot T(u) = c cdot 0 = 0 , o que significa que c cdot u está no núcleo.
Como todas as três condições são atendidas, Nuc(T) é um subespaço de V .

Resposta

Demonstramos que tanto Im(T) é um subespaço de W quanto Nuc(T) é um subespaço de V , verificando que ambos contêm o vetor zero, são fechados sob adição e sob multiplicação por escalar.

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