Se
é uma transformação linear, mostre que
e
são subespaços vetoriais de
e
respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se
é uma transformação linear, então
(a imagem de
) é um subespaço de
e
(o núcleo de
) é um subespaço de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais, imagem e núcleo de uma transformação linear. Um subespaço vetorial é basicamente um conjunto que satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos verificar essas condições para a imagem e o núcleo de
.
Passo 2
Primeiramente, vamos falar sobre a imagem de
, ou seja,
. Queremos mostrar que esse conjunto é um subespaço de
.
1. Contém o vetor zero:
Como é linear,
. Portanto, o vetor zero de
está na imagem de
.
Como
2. Fechado sob adição:
Se e
estão em
, então existem
e
em
tais que
e
. Então,
, que também está em
.
Se
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se está em
e
é um escalar, então
para algum
em
. Assim,
, que está em
.
Se
Como todas as três condições são atendidas,
é um subespaço de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o núcleo de
, ou seja,
. Queremos mostrar que esse conjunto é um subespaço de
.
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero de está no núcleo porque
.
O vetor zero de
2. Fechado sob adição:
Se e
estão em
, então
e
. Assim,
, então
está no núcleo.
Se
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se está em
e
é um escalar, então
, o que significa que
está no núcleo.
Se
Como todas as três condições são atendidas,
é um subespaço de
.
Resposta
Demonstramos que tanto
é um subespaço de
quanto
é um subespaço de
, verificando que ambos contêm o vetor zero, são fechados sob adição e sob multiplicação por escalar.