Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ]
Determine a transformação inversa, caso exista. Caso não exista, justifique por que não existe.

Passo 1

O enunciado pede para achar a transformação inversa T^-1:R^3toR^3 quando T é dada pela matriz
A = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2
na base canônica. Para que essa inversa exista, precisamos que A seja invertível, ou seja, que det(A)neq0.

Passo 2

Calculemos det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
det(A) =22&-1-1&2 -(-1)-1&-1-1&2 +(-1)-1&2-1&-1
Agora cada mineur:
2&-1-1&2 =2cdot2-(-1)cdot(-1)=4-1=3,
-1&-1-1&2 =(-1)cdot2-(-1)cdot(-1)=-2-1=-3,
-1&2-1&-1 =(-1)cdot(-1)-2cdot(-1)=1+2=3
Substituindo:
det(A)=2cdot3 -(-1)cdot(-3)+(-1)cdot3 =6 -3 -3 =0

Passo 3

Como det(A)=0, a matriz A é singular, ou seja, não é invertível. Portanto não existe matriz A^-1 e, consequentemente, não existe transformação inversa T^-1.

Passo 4

Para reforçar, note que
A111 =2-1-1-1+2-1-1-1+2 =000,
logo ker(T) contém o vetor não-nulo (1,1,1), mostrando que T não é injetora e, portanto, não há inversa.

Resposta

Não existe transformação inversa, pois det(A)=0 e T não é injetora.

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