Seja L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador de cisalhamento paralelo a reta \ell de equação y=3 x e com fator de cisalhamento não nulo. Determine os autovalores de L bem como os autovetores associados.

Passo 1

O enunciado diz que L\colon\R^2\to\R^2 é um cisalhamento (shear) paralelo à reta \ell de equação y=3x, com fator de cisalhamento k\neq0. Em Geometria Linear, um cisalhamento em \R^2 fixa ponto a ponto uma reta-eixo (aqui \ell) e desloca todo ponto fora dela na direção dessa reta, num comprimento proporcional à distância até ela. Para achar autovalores e autovetores, vamos escolher uma base adaptada à reta \ell.

Passo 2

Escolho como primeiro vetor da base
u_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},
que gera exatamente a reta \ell. Seja u_2 qualquer vetor não paralelo a u_1; por exemplo,
u_2 = \begin{pmatrix}-3\\\ 1\end{pmatrix}.
Como \{u_1,u_2\} é base de \R^2, posso escrever a matriz de L nessa base.

Passo 3

Pelas propriedades do cisalhamento paralelo a \ell:
  • Todo vetor sobre \ell fica fixo, então
L(u_1)=u_1.
  • Qualquer vetor da direção de u_2 sofre deslocamento paralelo a u_1 de magnitude proporcional à sua “distância” até \ell. Isso dá
L(u_2)=u_2 + k\,u_1,
com k\neq0 o fator de cisalhamento.
Na base \{u_1,u_2\}, a matriz de L é
A = \begin{pmatrix} 1 & k\\[6pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para encontrar os autovalores, calculemos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & k\\[3pt] 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2.
Logo o único autovalor é
\lambda = 1,
com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 5

Agora achamos o(s) autovetor(es) associados a \lambda=1. Resolvendo
(A - I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & k\\[3pt] 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
vem a equação k\,v_2=0. Como k\neq0, segue v_2=0 e v_1 livre. Então todo autovetor em coordenadas da base \{u_1,u_2\} é (v_1,0), correspondendo no espaço canônico a múltiplos de u_1, isto é, da reta \ell.]

Resposta

O operador L tem único autovalor \lambda=1 (com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1), e os autovetores são exatamente todos os vetores não-nulos da reta \ell, ou seja
\bigl\{t\,(1,3)\mid t\neq0\bigr\}.

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