Seja
um operador de cisalhamento paralelo a reta
de equação
e com fator de cisalhamento não nulo. Determine os autovalores de
bem como os autovetores associados.
Passo 1
O enunciado diz que
é um cisalhamento (shear) paralelo à reta
de equação
, com fator de cisalhamento
. Em Geometria Linear, um cisalhamento em
fixa ponto a ponto uma reta-eixo (aqui
) e desloca todo ponto fora dela na direção dessa reta, num comprimento proporcional à distância até ela. Para achar autovalores e autovetores, vamos escolher uma base adaptada à reta
.
Passo 2
Escolho como primeiro vetor da base
que gera exatamente a reta
. Seja
qualquer vetor não paralelo a
; por exemplo,
Como
é base de
, posso escrever a matriz de
nessa base.
Passo 3
Pelas propriedades do cisalhamento paralelo a
:
- Todo vetor sobre
fica fixo, então
- Qualquer vetor da direção de
sofre deslocamento paralelo a de magnitude proporcional à sua “distância” até . Isso dá
com
o fator de cisalhamento.
Na base
, a matriz de
é
Passo 4
Para encontrar os autovalores, calculemos o polinômio característico de
:
Logo o único autovalor é
com multiplicidade algébrica
.]
Passo 5
Agora achamos o(s) autovetor(es) associados a
. Resolvendo
vem a equação
. Como
, segue
e
livre. Então todo autovetor em coordenadas da base
é
, correspondendo no espaço canônico a múltiplos de
, isto é, da reta
.]
Resposta
O operador
tem único autovalor
(com multiplicidade algébrica
e geométrica
), e os autovetores são exatamente todos os vetores não-nulos da reta
, ou seja