Considere um organismo esférico de raio r0 no interior do qual ocorre respiração a uma taxa volumétrica uniforme de NA=-k0. Isto é, o consumo de oxigênio (espécie A ) é determinado por uma reação química homogênea de ordem zero.
Se a concentração molar de CA(r0)=CA, 0 for mantida na superfície do organismo, obtenha uma expressão para a distribuição radial de oxigênio, CA, r, no interior do organismo. Partindo de sua solução, você pode discernir algum limite na aplicabilidade do resultado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um organismo esférico de raio $ r_0 $ onde acontece a respiração de oxigênio de forma uniforme no volume, ou seja, o consumo de oxigênio segue uma reação química de ordem zero. A concentração de oxigênio na superfície desse organismo é mantida constante, igual a $ C_{A,0} $. Nosso objetivo é encontrar uma expressão que descreva como a concentração de oxigênio varia radialmente dentro do organismo, chamada de $ C_{A}® $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de difusão e equações diferenciais, especialmente pensando em como as substâncias se espalham dentro de meios esféricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a difusão de uma substância em um meio pode ser descrita pela equação de difusão. No caso de uma reação química de ordem zero, o consumo de oxigênio não depende da sua concentração. A equação geral de difusão com uma fonte ou consumo uniforme é:
1r^2 ddr ( r^2 D dCAdr ) = -NA
Aqui, $ D $ é o coeficiente de difusão do oxigênio no organismo e $ N_A $ é a taxa de consumo volumétrico de oxigênio.

Passo 3

Como a reação é de ordem zero, $ N_A $ é constante e igual a $ -k_0 $. Assim, podemos reescrever a equação como:
NA
Nosso próximo passo é integrar essa equação para encontrar $ C_A® $.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por $ r^2 $ para simplificar a equação:
r^2
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ r $:
ddr ( r^2 D dCAdr ) = k0 r^2
Aqui, $ C_1 $ é a constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Agora, resolvemos para $ \frac{dC_A}{dr} $:
dCAdr
Integramos novamente em relação a $ r $:
D dCAdr = k0 r3 + C1r^2
Aqui, $ C_2 $ é outra constante de integração.

Passo 6

Aplicamos as condições de contorno para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Sabemos que na superfície $ r = r_0 $, $ C_A(r_0) = C_{A,0} C1 éçãã r = 0 $), precisamos que o termo $ \frac{C_1}{D r} $ não cresça sem limite. Isso implica que $ C_1 = 0 $.
Então, nossa expressão fica:
C2
Agora, aplicamos a condição na superfície:
r = r0

Passo 7

Substituímos $ C_2 $ de volta na expressão de $ C_A® $:
C2
Simplificando:
CA(r)

Passo 8

Para deixar a expressão mais elegante, podemos reescrever:
CA(r) = CA,0 - k06D (r0^2 - r^2)
Ou, de forma equivalente:
CA(r) = CA,0 - k06D (r0^2 - r^2)

Resposta

A distribuição radial de oxigênio dentro do organismo é dada por:
CA(r) = CA,0 - k06D ( r0^2 - r^2 )
Quanto ao limite de aplicabilidade desse resultado, ele é válido enquanto a reação química for realmente de ordem zero e o consumo de oxigênio for uniforme no volume. Se, por exemplo, a reação passasse a depender da concentração de oxigênio (ou seja, não fosse mais de ordem zero), ou se o consumo não fosse uniforme, essa expressão não seria mais válida.

Exercícios relacionados