Considere um oscilador forçado no regime permanente e em ressonância.
Prove que
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Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador forçado que está no regime permanente e em ressonância. Nosso objetivo é provar que o valor de α (que geralmente representa o coeficiente de amortecimento) é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos oscilatórios, ressonância e como o amortecimento afeta o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um oscilador forçado. É basicamente um sistema que oscila quando é submetido a uma força externa periódica. Pense em um pêndulo que você impulsiona constantemente para mantê-lo em movimento.
Passo 3
Agora, o regime permanente é a situação em que o sistema já estabilizou seu comportamento após muitas oscilações, ou seja, já não está mais mudando com o tempo. É quando as oscilações têm uma amplitude e frequência constantes.
Passo 4
A ressonância ocorre quando a frequência da força externa coincide com a frequência natural do sistema. Nesse ponto, a amplitude das oscilações atinge seu valor máximo possível.
Passo 5
O coeficiente de amortecimento (α) representa a perda de energia do sistema, como o atrito ou a resistência do ar. Em presença de amortecimento, a amplitude das oscilações tende a diminuir com o tempo.
Passo 6
No caso de ressonância no regime permanente, queremos que a amplitude das oscilações seja constante. Se houver qualquer tipo de amortecimento (α > 0), a energia fornecida pela força externa seria parcialmente dissipada, impedindo que a amplitude atinja um valor constante sem ajustes na força externa.
Passo 7
Para que a amplitude permaneça constante no regime permanente durante a ressonância, não pode haver perda de energia, ou seja, o amortecimento deve ser zero. Portanto, α = 0.
Resposta
α = 0