Considere uma partícula em queda, a partir do repouso, em um campo gravitacional constante. Suponha que a força de resistência do ar seja proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja,
. Obtenha a posição da partícula como função da velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que está caindo livremente, começando do repouso, num campo gravitacional constante. Além disso, a resistência do ar que a partícula enfrenta é proporcional ao quadrado da sua velocidade, representada pela fórmula $ F_{r} = -m k v^{2} $. Nosso objetivo aqui é encontrar a posição da partícula em função da sua velocidade, ou seja, queremos expressar $ x $ em termos de $ v $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente as leis de Newton e integrais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração. A força resultante aqui é a combinação da força da gravidade e da resistência do ar.
A força da gravidade agindo para baixo é $ F_{g} = m g $, onde $ g $ é a aceleração devido à gravidade. A resistência do ar, que atua no sentido oposto ao movimento, é $ F_{r} = -m k v^{2} $.
Então, a força total $ F $ sobre a partícula é:
Passo 3
Agora, aplicando a segunda lei de Newton:
onde $ a $ é a aceleração da partícula. Igualando as duas expressões para $ F $:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por $ m $:
Passo 4
Sabemos que a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas como queremos relacionar posição $ x $ com velocidade $ v $, vamos usar o fato de que:
Então, substituindo na equação da aceleração:
Passo 5
Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Para encontrar $ x $ em função de $ v $, integramos ambos os lados. Vamos integrar o lado esquerdo com respeito a $ v $ e o lado direito com respeito a $ x $.
Passo 6
Começando com a integral do lado esquerdo:
Podemos fazer uma substituição para simplificar. Seja $ u = g - k v^{2} $, então:
Substituindo na integral:
Voltando para $ u $:
Passo 7
Agora, igualamos à integral do lado direito, que é $ \int dx = x + C’ $. Ignorando as constantes de integração adicionais (já que elas serão absorvidas na constante geral), temos:
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial. Quando $ v = 0 $, a posição $ x = 0 $:
Passo 8
Substituindo $ C $ na equação anterior:
Vamos isolar $ x $:
Simplificando:
Resposta
A posição da partícula em função da velocidade é: