Em um encontro de mímicos, o mímico 1 se desloca de d1=(4,0 m) i+(5,0 m) j e o mímico 2 se desloca de d2=(-3,0 m) i+(4,0 m) j. Determine (a) d1 times d2, (b) d1 cdot d2, © (d1+d2) cdot d2 e (d) a componente de d1 em relação a d2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos dois mímicos que se deslocam em direções diferentes, representadas por vetores. O mímico 1 se desloca por d1=(4,0 m) i+(5,0 m) j e o mímico 2 por d2=(-3,0 m) i+(4,0 m) j. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial (ou cruzado), produto escalar (ou ponto), e projeção de um vetor sobre o outro para resolver as partes (a) até (d).

Passo 2

Parte (a): Calcular d1 times d2
Primeiro, o produto vetorial entre dois vetores em duas dimensões resulta em um escalar que representa a magnitude da área do paralelogramo formado pelos vetores, direcionado perpendicularmente (no eixo z).
A fórmula para o produto vetorial é:
d1 times d2 = d1x cdot d2y - d1y cdot d2x
Substituindo os valores:
d1 times d2 = 4 cdot 4 - 5 cdot (-3) = 16 + 15 = 31 m^2

Passo 3

Parte (b): Calcular d1 cdot d2
O produto escalar entre dois vetores nos dá uma medida de quanto eles estão alinhados.
A fórmula é:
d1 cdot d2 = d1x cdot d2x + d1y cdot d2y
Substituindo os valores:
d1 cdot d2 = 4 cdot (-3) + 5 cdot 4 = -12 + 20 = 8 m^2

Passo 4

Parte ©: Calcular (d1+d2) cdot d2
Primeiro, vamos somar os vetores d1 e d2:
d1 + d2 = (4 + (-3)) i + (5 + 4) j = (1, 9) m
Agora, fazemos o produto escalar desse resultado com d2:
(d1+d2) cdot d2 = 1 cdot (-3) + 9 cdot 4 = -3 + 36 = 33 m^2

Passo 5

Parte (d): Encontrar a componente de d1 na direção de d2
A componente de um vetor a na direção de b é dada por:
Componente de a em b = a cdot b|b|
Primeiro, já calculamos d1 cdot d2 = 8 m^2.
Agora, vamos calcular o módulo de d2:
|d2| = raiz(-3)^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 m
Então:
Componente = 85 = 1,6 m

Resposta

(a) d1 times d2 = 31 m^2
(b) d1 cdot d2 = 8 m^2
© (d1+d2) cdot d2 = 33 m^2
(d) A componente de d1 em relação a d2 é 1,6 m

Exercícios relacionados