Um estudante de engenharia, na disciplina de laboratório de física, estava analisando o movimento de um objeto. Ele anotou várias posições ocupadas pelo objeto e os instantes correspondentes. Com esses dados, montou uma tabela que foi utilizada em um programa computacional. Esse programa gerou um gráfico e também sugeriu uma função que descrevia, aproximadamente, o movimento do objeto.
De posse dessa função, o aluno pôde fazer previsões sobre o movimento e, também, inferir possíveis causas para aquele comportamento do objeto. As variáveis envolvidas no estudo dos movimentos são, principalmente:
- o tempo
, medido em segundos, que é a variável independente;
- a posição
, medida em metros;
- a velocidade (
), medida em m/s, que é a derivada da posição;
- a aceleração (a), medida em
, que é a derivada segunda da posição.
Diante disso, considere que a equação fornecida pelo programa computacional seja:
É correto afirmar que a expressão geral para a posição do objeto é:
A)
B)
C)
D)
E)
De posse dessa função, o aluno pôde fazer previsões sobre o movimento e, também, inferir possíveis causas para aquele comportamento do objeto. As variáveis envolvidas no estudo dos movimentos são, principalmente:
Diante disso, considere que a equação fornecida pelo programa computacional seja:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um estudante de engenharia que analisou o movimento de um objeto e montou uma equação diferencial baseada nas variáveis tempo
, posição
, velocidade
e aceleração
. A equação que a gente vai resolver é:
Nosso objetivo é encontrar a expressão geral para a posição do objeto
e identificar qual das alternativas oferecidas está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos da equação:
- Aceleração
é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, . - Velocidade
é a primeira derivada da posição, . - Posição
é a função que queremos encontrar.
Substituindo esses na equação original, temos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar as soluções da equação característica associada. A equação característica é formada substituindo
na equação diferencial:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Resposta
A expressão geral para a posição do objeto é:
Alternativa B)