Um estudante de engenharia, na disciplina de laboratório de física, estava analisando o movimento de um objeto. Ele anotou várias posições ocupadas pelo objeto e os instantes correspondentes. Com esses dados, montou uma tabela que foi utilizada em um programa computacional. Esse programa gerou um gráfico e também sugeriu uma função que descrevia, aproximadamente, o movimento do objeto.
De posse dessa função, o aluno pôde fazer previsões sobre o movimento e, também, inferir possíveis causas para aquele comportamento do objeto. As variáveis envolvidas no estudo dos movimentos são, principalmente:
  • o tempo (t), medido em segundos, que é a variável independente;
  • a posição (x), medida em metros;
  • a velocidade ( v ), medida em m/s, que é a derivada da posição;
  • a aceleração (a), medida em m / s^2, que é a derivada segunda da posição.
    Diante disso, considere que a equação fornecida pelo programa computacional seja:
a-10 v+16 x=0
É correto afirmar que a expressão geral para a posição do objeto é:
A) x=c1 cdot e^t+c2 cdot e^3 t
B) x=c1 cdot e^2 t+c2 cdot e^8 t
C) x=c1 cdot e^3 t+c2 cdot e^5 t
D) x=c1 cdot e^2 t+c2 cdot e^4 t
E) x=c1 cdot e^t+c2 cdot e^5 t

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um estudante de engenharia que analisou o movimento de um objeto e montou uma equação diferencial baseada nas variáveis tempo (t), posição (x), velocidade (v) e aceleração (a). A equação que a gente vai resolver é:
a - 10v + 16x = 0
Nosso objetivo é encontrar a expressão geral para a posição do objeto x(t) e identificar qual das alternativas oferecidas está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da equação:
  • Aceleração (a) é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, a = d^2xdt^2.
  • Velocidade (v) é a primeira derivada da posição, v = dxdt.
  • Posição (x) é a função que queremos encontrar.
Substituindo esses na equação original, temos:
d^2xdt^2 - 10dxdt + 16x = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos encontrar as soluções da equação característica associada. A equação característica é formada substituindo x(t) = e^rt na equação diferencial:
r^2 - 10r + 16 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática r^2 - 10r + 16 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot 162 cdot 1 = 10 pm raiz100 - 642 = 10 pm 62
Isso nos dá duas raízes:
r1 = 10 + 62 = 8 e r2 = 10 - 62 = 2

Passo 5

Com as raízes r1 = 8 e r2 = 2, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes:
x(t) = c1 e^2t + c2 e^8t
Onde c1 e c2 são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A expressão geral para a posição do objeto é:
x = c1 cdot e^2 t + c2 cdot e^8 t
Alternativa B)

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