Considere um oscilador harmônico no estado fundamental ( n=0 ), cujo estado físico é descrito pela seguinte função de onda:
Psi0(x, t)=A0 e^-m omega x^22 hbar-i E thbar
Onde: - A0 é uma constante de normalização, - m é a massa da partícula, - omega é a frequência angular do oscilador, - hbar é a constante de Planck dividida por 2 pi, - E é a energia do sistema no estado fundamental.
Determine:
(a) Encontre a constante de normalização A0.
(b) Calcule os valores esperados para lang<= xrang<=,lang<= x^2rang<=,lang<= prang<= e lang<= p^2rang<=.
(c) Calcule as incertezas sigmax e sigmap. O produto destas quantidades é compatível com o princípio da incerteza de Heisenberg?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica sobre o oscilador harmônico no estado fundamental. A gente vai precisar entender sobre funções de onda, normalização, valores esperados e incertezas. Primeiro, vamos encontrar a constante de normalização A0, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda Psi0(x, t). Para isso, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^infty |Psi0(x, t)|^2 , dx = 1
A função de onda é:
Psi0(x, t) = A0 e^-m omega x^22 hbar - i E thbar
O módulo ao quadrado é:
|Psi0(x, t)|^2 = |A0|^2 e^-m omega x^2hbar
Então, a integral fica:
|A0|^2 integral-infty^infty e^-m omega x^2hbar , dx = 1

Passo 3

A gente sabe que:
integral-infty^infty e^-a x^2 , dx = raizpia
Aqui, a = m omegahbar. Então, a integral se torna:
|A0|^2 raizpi hbarm omega = 1
Resolvendo para |A0|^2:
|A0|^2 = raizm omegapi hbar
Como A0 é uma constante real positiva, temos:
A0 = (m omegapi hbar)^1/4

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores esperados lang<= x rang<=, lang<= x^2 rang<=, lang<= p rang<= e lang<= p^2 rang<=.
Para lang<= x rang<=:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty Psi0^*(x, t) , x , Psi0(x, t) , dx
Como a função de onda é par e multiplicada por x que é ímpar, a integral resulta em 0.
Para lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty Psi0^*(x, t) , x^2 , Psi0(x, t) , dx
Usando a integral de x^2 e^-a x^2, que é 12 raizpia^3, substituindo a = m omegahbar:
lang<= x^2 rang<= = hbar2 m omega
Para lang<= p rang<=:
lang<= p rang<= = integral-infty^infty Psi0^*(x, t) , (-i hbar ddx) , Psi0(x, t) , dx = 0
Pela simetria da função de onda e sua derivada ser ímpar.
Para lang<= p^2 rang<=:
lang<= p^2 rang<= = integral-infty^infty Psi0^*(x, t) , (-hbar^2 d^2dx^2) , Psi0(x, t) , dx
Calculando a segunda derivada da função de onda e resolvendo, obtemos:
lang<= p^2 rang<= = hbar m omega2

Passo 5

Por último, vamos calcular as incertezas sigmax e sigmap, que são definidas por:
sigmax = raizlang<= x^2 rang<= - lang<= x rang<=^2 = raizhbar2 m omega
sigmap = raizlang<= p^2 rang<= - lang<= p rang<=^2 = raizhbar m omega2
O produto dessas incertezas é:
sigmax sigmap = hbar2
Isso está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, que diz que:
sigmax sigmap >= hbar2
Então, nosso resultado está exatamente no limite permitido.

Resposta

(a) A constante de normalização é:
A0 = (m omegapi hbar)^1/4
(b) Os valores esperados são:
lang<= x rang<= = 0
lang<= x^2 rang<= = hbar2 m omega
lang<= p rang<= = 0
lang<= p^2 rang<= = hbar m omega2
(c) As incertezas são:
sigmax = raizhbar2 m omega
sigmap = raizhbar m omega2
O produto das incertezas é sigmax sigmap = hbar2, que está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.

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