Considere um oscilador harmônico no estado fundamental (
), cujo estado físico é descrito pela seguinte função de onda:
Onde: -
é uma constante de normalização, -
é a massa da partícula, -
é a frequência angular do oscilador, -
é a constante de Planck dividida por
, -
é a energia do sistema no estado fundamental.
Determine:
(a) Encontre a constante de normalização
.
(b) Calcule os valores esperados para
e
.
(c) Calcule as incertezas
e
. O produto destas quantidades é compatível com o princípio da incerteza de Heisenberg?
(a) Encontre a constante de normalização
(b) Calcule os valores esperados para
(c) Calcule as incertezas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica sobre o oscilador harmônico no estado fundamental. A gente vai precisar entender sobre funções de onda, normalização, valores esperados e incertezas. Primeiro, vamos encontrar a constante de normalização
, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula seja 1.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda
. Para isso, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
A função de onda é:
O módulo ao quadrado é:
Então, a integral fica:
Passo 3
A gente sabe que:
Aqui,
. Então, a integral se torna:
Resolvendo para
:
Como
é uma constante real positiva, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores esperados
,
,
e
.
Para
:
Como a função de onda é par e multiplicada por
que é ímpar, a integral resulta em 0.
Para
:
Usando a integral de
, que é
, substituindo
:
Para
:
Pela simetria da função de onda e sua derivada ser ímpar.
Para
:
Calculando a segunda derivada da função de onda e resolvendo, obtemos:
Passo 5
Por último, vamos calcular as incertezas
e
, que são definidas por:
O produto dessas incertezas é:
Isso está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, que diz que:
Então, nosso resultado está exatamente no limite permitido.
Resposta
(a) A constante de normalização é:
(b) Os valores esperados são:
(c) As incertezas são:
O produto das incertezas é
, que está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.