Um oscilador harmônico absorve um fóton de
de comprimento de onda quando passa por uma transição do estado fundamental para o primeiro nıvel excitado. Qual é a energia do estado fundamental, em elétrons-volt, do oscilador?
5. Considere um oscilador harmônico no estado fundamental (
), cujo estado físico é descrito pela seguinte função de onda:
Onde: -
é uma constante de normalização, -
é a massa da partícula, -
é a frequência angular do oscilador, -
é a constante de Planck dividida por
, -
é a energia do sistema no estado fundamental.
5. Considere um oscilador harmônico no estado fundamental (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador harmônico quântico que absorve um fóton com comprimento de onda de
ao fazer a transição do estado fundamental para o primeiro nível excitado. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a energia do estado fundamental desse oscilador, medida em elétrons-volt (eV).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
- Energia dos níveis em um oscilador harmônico quântico.
- Relação entre energia e comprimento de onda de um fóton.
- Conversão de unidades para chegar ao resultado final em eV.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são as energias dos níveis de um oscilador harmônico quântico. A energia de cada nível é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a energia no nível , -
é a constante de Planck reduzida ( ), -
é a frequência angular do oscilador, -
é o número quântico (0 para o estado fundamental, 1 para o primeiro nível excitado, etc.).
No estado fundamental (
), a energia é:
E para o primeiro nível excitado (
):
A diferença de energia entre esses dois níveis é:
Passo 3
Agora, sabemos que essa diferença de energia (
) é igual à energia do fóton absorvido durante a transição. A energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda (
) pela fórmula:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é o comprimento de onda do fóton.
Como a energia do fóton absorvido é igual a
, podemos escrever:
Passo 4
Nosso objetivo é achar
. Substituindo
pela expressão acima, temos:
Agora, vamos calcular essa expressão. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam corretas. O comprimento de onda está dado em micrômetros, então vamos convertê-lo para metros:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Agora, dividindo os dois:
Multiplicando por
:
Passo 6
Finalmente, precisamos converter a energia de Joules para elétrons-volt (eV). Sabemos que:
Então:
Resposta
A energia do estado fundamental do oscilador harmônico é aproximadamente 0,098 eV.