Um oscilador harmônico absorve um fóton de 6.35 mu m de comprimento de onda quando passa por uma transição do estado fundamental para o primeiro nıvel excitado. Qual é a energia do estado fundamental, em elétrons-volt, do oscilador?
5. Considere um oscilador harmônico no estado fundamental ( n=0 ), cujo estado físico é descrito pela seguinte função de onda:
Psi0(x, t)=A0 e^-m omega x^22 hbar-i E thbar
Onde: - A0 é uma constante de normalização, - m é a massa da partícula, - omega é a frequência angular do oscilador, - hbar é a constante de Planck dividida por 2 pi, - E é a energia do sistema no estado fundamental.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador harmônico quântico que absorve um fóton com comprimento de onda de 6.35,mu m ao fazer a transição do estado fundamental para o primeiro nível excitado. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a energia do estado fundamental desse oscilador, medida em elétrons-volt (eV).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
  • Energia dos níveis em um oscilador harmônico quântico.
  • Relação entre energia e comprimento de onda de um fóton.
  • Conversão de unidades para chegar ao resultado final em eV.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são as energias dos níveis de um oscilador harmônico quântico. A energia de cada nível é dada pela fórmula:
En = (n + 12)hbaromega
Onde:
  • En é a energia no nível n ,
  • hbar é a constante de Planck reduzida ( hbar = h2pi ),
  • omega é a frequência angular do oscilador,
  • n é o número quântico (0 para o estado fundamental, 1 para o primeiro nível excitado, etc.).
No estado fundamental ( n = 0 ), a energia é:
E0 = 12hbaromega
E para o primeiro nível excitado ( n = 1 ):
E1 = 32hbaromega
A diferença de energia entre esses dois níveis é:
De<a E = E1 - E0 = hbaromega

Passo 3

Agora, sabemos que essa diferença de energia ( De<a E ) é igual à energia do fóton absorvido durante a transição. A energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda ( lambda ) pela fórmula:
E = hclambda
Onde:
  • h é a constante de Planck ( h = 6.626 times 10^-34 , Jcdots ),
  • c é a velocidade da luz ( c = 3 times 10^8 , m/s ),
  • lambda é o comprimento de onda do fóton.
Como a energia do fóton absorvido é igual a De<a E = hbaromega , podemos escrever:
hbaromega = hclambda

Passo 4

Nosso objetivo é achar E0 = 12hbaromega . Substituindo hbaromega pela expressão acima, temos:
E0 = 12 times hclambda
Agora, vamos calcular essa expressão. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam corretas. O comprimento de onda está dado em micrômetros, então vamos convertê-lo para metros:
lambda = 6.35,mum = 6.35 times 10^-6,m

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
E0 = 12 times 6.626 times 10^-34,Jcdots times 3 times 10^8,m/s6.35 times 10^-6,m
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
6.626 times 10^-34 times 3 times 10^8 = 1.9878 times 10^-25,Jcdotm
Denominador:
6.35 times 10^-6,m
Agora, dividindo os dois:
1.9878 times 10^-256.35 times 10^-6 approx 3.13 times 10^-20,J
Multiplicando por 12 :
E0 approx 12 times 3.13 times 10^-20,J approx 1.565 times 10^-20,J

Passo 6

Finalmente, precisamos converter a energia de Joules para elétrons-volt (eV). Sabemos que:
1,eV = 1.602 times 10^-19,J
Então:
E0 = 1.565 times 10^-20,J1.602 times 10^-19,J/eV approx 0.0977,eV

Resposta

A energia do estado fundamental do oscilador harmônico é aproximadamente 0,098 eV.

Exercícios relacionados