9- Num oscilador pouco amortecido, m=250 g, k=85 N / m e b= 70 g / s. (a) Qual o período do movimento? (b) Quanto tempo leva para que a amplitude do oscilador amortecido caia até a metade de seu valor inicial? (c) Quanto tempo leva para que a energia mecânica caia até a metade de seu valor inicial?
(a) 0,34 s, (b) 5,0 s, (c) 2,5 s.

Passo 1

Temos um oscilador amortecido leve com massa m=250 g=0,25 kg, constante elástica k=85 N/m e coeficiente de amortecimento b=70 g/s=0,07 kg/s. Vamos calcular:
  1. O período T aproximado (desprezando a pequena correção pelo amortecimento).
  2. O tempo para a amplitude cair a metade, usando a lei A(t)=A0e^-gamma t com gamma=b/(2m).
  3. O tempo para a energia cair à metade, sabendo que E(t)=E0e^-2gamma t.

Passo 2

O período do oscilador não amortecido é
omega0=raizkm=raiz850,25approx18,44 s^-1,
T=2piomega0approx2pi18,44approx0,34 s

Passo 3

A constante de amortecimento é
gamma=b2m=0,072cdot0,25=0,14 s^-1
Para a amplitude cair à metade, A(t1/2)=A0/2, resolvemos
e^-gamma t1/2=tfrac12 Longrightarrow t1/2=ln2gamma=0,6930,14approx5,0 s

Passo 4

A energia decai como E(t)=E0e^-2gamma t. Para E(tE)=E0/2, temos
e^-2gamma tE=tfrac12 Longrightarrow tE=ln22gamma=0,6932cdot0,14approx2,5 s

Resposta

(a) ,0,34,s
(b) ,5,0,s
(c) ,2,5,s

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