Um oscilador harmônico simples quântico consiste em uma partícula de massa
ligada por uma força de restauração proporcional à sua posição relativa a um determinado ponto de equilíbrio. A constante de proporcionalidade é
. Qual é o comprimento de onda mais longo da luz que pode excitar o oscilador?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscillador harmônico simples quântico, que é basicamente uma partícula com massa
presa por uma força que depende da posição dela, com uma constante
. A pergunta quer saber qual é o comprimento de onda mais longo da luz que consegue excitar esse oscilador. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia nos oscilladores quânticos e a relação entre energia e comprimento de onda da luz.
Passo 2
Primeiro, no oscillador harmônico quântico, os níveis de energia são quantizados e dados pela fórmula:
Onde:
-
é a energia do nível , -
é a constante de Planck dividida por , -
é a frequência angular do oscilador, -
é um número inteiro (0, 1, 2, …).
Passo 3
A frequência angular
está relacionada à constante do sistema pela fórmula:
Isso significa que quanto maior a constante
ou menor a massa
, maior será a frequência do oscilador.
Passo 4
Para excitar o oscilador, a energia do fóton da luz precisa corresponder à diferença de energia entre dois níveis consecutivos do oscilador. A diferença de energia entre
e
é:
Então, a energia do fóton
deve ser igual a
.
Passo 5
A energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda
pela fórmula:
Onde:
-
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz.
Passo 6
Igualando as duas expressões para a energia do fóton:
Resolvendo para
:
Como
, substituímos:
Passo 7
Substituindo
na equação de
:
Resposta
O comprimento de onda mais longo da luz que pode excitar o oscilador é: