Considere um oscilador harmônico de massa
e frequência angular
. No tempo
, o estado do oscilador é dado por
onde os estados
são estados estacionários com energia
a) Qual é a probabilidade
de que uma medida da energia do oscilador realizada em um tempo arbitrário
fornecerá um resultado maior do que
? Quando
, quais são os coeficientes
que são diferentes de zero?
Resposta:
b) De agora em diante, assuma que apenas
e
são diferentes de zero. Escreva a condição de normalização para
e para o valor médio da energia,
, em termos de
e
. Com a exigência adicional
, calcule
Resposta:
c) Como o vetor de estado normalizado
é definido a menos de um fator de fase global, fixamos este valor escolhendo
real e positivo. Fazemos:
. Assumimos que
e que
Calcule
Resposta:
d) Com
assim determinado, escreva
para
e calcule o valor de
no instante
. Obtenha o valor médio
da posição no tempo
Resposta:
a) Qual é a probabilidade
Resposta:
b) De agora em diante, assuma que apenas
Resposta:
c) Como o vetor de estado normalizado
Resposta:
d) Com
Resposta:
Passo 1
Resumo do problema: temos um oscilador harmônico de massa
e frequência angular
. No instante
o estado é
com energias
. Vamos usar teoria de medidas em autovalores, normalização de estados, evoluçãotemporal de fases e cálculo de valores esperados para resolver as partes (a)–(d).
Passo 2
Parte (a): probabilidade de medir energia maior que
Usamos que ao medir energia em um estado superposto, a probabilidade de obter é
, independente de
. Queremos
Usamos que ao medir energia em um estado superposto, a probabilidade de obter
Logo
Para
é necessário que todos
para
, restando apenas
e
.
Passo 3
Parte (b): normalização e valor médio da energia com só
e
A normalização exige
A normalização exige
O valor médio da energia é
Impondo
obtemos
e com
resolvemos o sistema para achar
Passo 4
Parte ©: fase relativa
a partir de
Escolhemos real positivo e
. Sabendo
Escolhemos
e substituindo
, temos
Passo 5
Parte (d): evolução temporal e valor esperado de
Cada recebe um fator
. Assim
Cada
ou, extraindo fase global,
A fase relativa no tempo é
e o valor médio de
torna-se
Resposta
(a)
Para
só
e
podem ser não nulos.
(b) Normalização: . Valor médio:
dá
.
©
(d)
(b) Normalização:
©
(d)