Considere um oscilador harmônico de massa m e frequência angular omega. No tempo t=0, o estado do oscilador é dado por
|psi(0)rang<==sumn=0^infty cn|varphinrang<=
onde os estados P são estados estacionários com energia t>0
a) Qual é a probabilidade 2 hbar omega de que uma medida da energia do oscilador realizada em um tempo arbitrário P=0 fornecerá um resultado maior do que cn ? Quando c0, quais são os coeficientes c1 que são diferentes de zero?
Resposta: |psi(0)rang<=
b) De agora em diante, assuma que apenas lang<= Hrang<= e c0 são diferentes de zero. Escreva a condição de normalização para c1 e para o valor médio da energia, lang<= Hrang<==hbar omega, em termos de |psi(0)rang<= e c0. Com a exigência adicional lang<= Hrang<==hbar omega, calcule lang<= Xrang<==12 raizhbarm omega
Resposta: theta1
c) Como o vetor de estado normalizado cos theta1=1raiz2 é definido a menos de um fator de fase global, fixamos este valor escolhendo |psi(0)rang<= real e positivo. Fazemos: |psi(t)rang<=. Assumimos que t>0 e que
theta1
Calcule t
Resposta: lang<= Xrang<=(t)
d) Com t assim determinado, escreva para e calcule o valor de no instante . Obtenha o valor médio da posição no tempo
Resposta:

Passo 1

Resumo do problema: temos um oscilador harmônico de massa m e frequência angular omega. No instante t=0 o estado é
|psi(0)rang<==sumn=0^infty cn|varphinrang<=
com energias En=(n+tfrac12)hbaromega. Vamos usar teoria de medidas em autovalores, normalização de estados, evoluçãotemporal de fases e cálculo de valores esperados para resolver as partes (a)–(d).

Passo 2

Parte (a): probabilidade de medir energia maior que 2hbaromega
Usamos que ao medir energia em um estado superposto, a probabilidade de obter En é |cn|^2, independente de t>0. Queremos
En>2hbaromega Longrightarrow (n+tfrac12)hbaromega>2hbaromega Longrightarrow n>tfrac32 Longrightarrow n>=2
Logo
P(E>2hbaromega)=sumn=2^infty|cn|^2
Para P=0 é necessário que todos cn=0 para n>=2, restando apenas c0 e c1.

Passo 3

Parte (b): normalização e valor médio da energia com só c0 e c1
A normalização exige
|c0|^2+|c1|^2=1
O valor médio da energia é
lang<= Hrang<==(|c0|^2cdottfrac12+|c1|^2cdottfrac32)hbaromega
Impondo lang<= Hrang<==hbaromega obtemos
tfrac12|c0|^2+tfrac32|c1|^2=1
e com |c0|^2+|c1|^2=1 resolvemos o sistema para achar
|c0|^2=|c1|^2=tfrac12

Passo 4

Parte ©: fase relativa theta1 a partir de lang<= Xrang<=(0)
Escolhemos c0=raiz1/2 real positivo e c1=raiz1/2e^itheta1. Sabendo
lang<= Xrang<== rac12raizhbarmomega=raizhbar2momega;2Re(c0^*c1)
e substituindo c0^*c1=tfrac12e^itheta1, temos
raizhbar2momegacostheta1=12raizhbarmomega Longrightarrow costheta1=1raiz2

Passo 5

Parte (d): evolução temporal e valor esperado de X
Cada |varphinrang<= recebe um fator e^-iEn t/hbar=e^-i(n+1/2)omega t. Assim
|psi(t)rang<==c0e^-iomega t/2|varphi0rang<=+c1e^-i3omega t/2|varphi1rang<=
ou, extraindo fase global,
|psi(t)rang<==e^-iomega t/2l(raiztfrac12|varphi0rang<=+raiztfrac12e^i(theta1-omega t)|varphi1rang<=r)
A fase relativa no tempo é
theta1(t)=theta1-omega t
e o valor médio de X torna-se
lang<= Xrang<=(t)=raiz2,lang<= Xrang<=(0)cos(theta1-omega t)

Resposta

(a) P(E>2hbaromega)=sumn=2^infty|cn|^2 Para P=0 c0 e c1 podem ser não nulos.
(b) Normalização: |c0|^2+|c1|^2=1. Valor médio: lang<= Hrang<==hbaromega(tfrac12|c0|^2+tfrac32|c1|^2)=hbaromega |c0|^2=|c1|^2=1/2.
© costheta1=1/raiz2
(d)
|psi(t)rang<==e^-iomega t/2l(raiztfrac12|varphi0rang<=+raiztfrac12e^i(theta1-omega t)|varphi1rang<=r),
theta1(t)=theta1-omega t,lang<= Xrang<=(t)=raiz2,lang<= Xrang<=(0)cos(theta1-omega t)

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