Sem resolver a equação de Schrödinger, diga quais são os autovalores de energia e as respectivas autofunções para uma partícula que se move no potencial V(x) dado por
& V(x)=+infty x<0 & V(x)=k2 x^2 x>0

Passo 1

A partícula se move em 1D com potencial infinito em x<0 e harmônico em x>0. Esse é o chamado semi-oscilador harmônico. Para resolver sem integrar a equação de Schrödinger, vamos usar o fato de que conhecemos as soluções do oscilador harmônico completo e impor a condição de contorno em x=0.

Passo 2

As soluções do oscilador harmônico completo têm autovalores de energia
En^rm HO = l(n+tfrac12r)hbaromega,
e autofunções
psin^rm HO(x) = Nn,Hn(alpha x),e^-alpha^2 x^22,
com omega=raizk/m, alpha=raizmomega/hbar e o polinômio de Hermite Hn.

Passo 3

Como há parede infinita em x=0, a função de onda deve satisfazer psi(0)=0. No oscilador completo, apenas as funções de paridade ímpar são nulas em x=0 (isto é, psi2n+1^rm HO(0)=0). Portanto, os estados permitidos no semi-oscilador correspondem aos níveis n=1,3,5,dots do oscilador completo.

Passo 4

Reindexando com n=0,1,2,dots para os estados permitidos, definimos o número quântico n tal que o nível do oscilador completo é 2n+1. Assim os autovalores e autofunções no semi-oscilador ficam definidos como abaixo.

Resposta

Os autovalores de energia são
En = l[(2n+1)+tfrac12r]hbaromega = l(2n+tfrac32r)hbaromega,
com n=0,1,2,dots e omega=raizk/m. As autofunções correspondentes são as funções de Hermite ímpares do oscilador completo, restritas a x>0 e nulas em x<0:
psin(x)= An,H2n+1(alpha x),e^-alpha^2 x^22,&x>0, 0,&x<0,
onde alpha=raizmomega/hbar e An é a constante de normalização no semieixo positivo.

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