Sem resolver a equação de Schrödinger, diga quais são os autovalores de energia e as respectivas autofunções para uma partícula que se move no potencial
dado por
Passo 1
A partícula se move em 1D com potencial infinito em x<0 e harmônico em x>0. Esse é o chamado semi-oscilador harmônico. Para resolver sem integrar a equação de Schrödinger, vamos usar o fato de que conhecemos as soluções do oscilador harmônico completo e impor a condição de contorno em x=0.
Passo 2
As soluções do oscilador harmônico completo têm autovalores de energia
e autofunções
com
,
e o polinômio de Hermite
.
Passo 3
Como há parede infinita em x=0, a função de onda deve satisfazer
. No oscilador completo, apenas as funções de paridade ímpar são nulas em x=0 (isto é,
). Portanto, os estados permitidos no semi-oscilador correspondem aos níveis
do oscilador completo.
Passo 4
Reindexando com
para os estados permitidos, definimos o número quântico
tal que o nível do oscilador completo é
. Assim os autovalores e autofunções no semi-oscilador ficam definidos como abaixo.
Resposta
Os autovalores de energia são
com
e
. As autofunções correspondentes são as funções de Hermite ímpares do oscilador completo, restritas a x>0 e nulas em x<0:
onde
e
é a constante de normalização no semieixo positivo.