Considere um oscilador harmônico simples cuja a massa é
e a constante de força da mola é
. As seguintes três situações são independentes.
Suponta que em
a massa se encontra na posição
com velocidade inicial de
. Determine a equação de movimento
e calcule a energia mecânica da massa.
Suponta que em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de oscilador harmônico simples. Isso envolve física de sistemas oscilatórios, onde temos uma massa presa a uma mola. Aqui, a massa é
e a constante da mola é
. No começo, em
, a massa está na posição
e com uma velocidade inicial de
. Nosso objetivo é achar a equação do movimento
dessa massa e calcular a energia mecânica total do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um oscilador harmônico simples, a equação do movimento é uma função harmônica, geralmente escrita como:
onde:
-
-
Vamos calcular
com os valores que temos.
Passo 3
Calculando
:
Então, nossa frequência angular é aproximadamente
Passo 4
Agora, usamos as condições iniciais para achar
e
. Sabemos que em
:
Primeiro, vamos calcular
Então,
Passo 5
Agora, vamos usar a velocidade inicial. A velocidade é a derivada de
:
Em
Então,
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação do movimento:
Passo 7
Vamos calcular a energia mecânica total. A energia mecânica em um oscilador harmônico é a soma da energia cinética e da energia potencial. Ela pode ser calculada usando:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação de movimento é:
E a energia mecânica da massa é