Considere um oscilador harmônico simples cuja a massa é m=0,1 kg e a constante de força da mola é k=5 N / m. As seguintes três situações são independentes.
Suponta que em t=0 a massa se encontra na posição 0,2 m com velocidade inicial de 2,0 m / s. Determine a equação de movimento x(t) e calcule a energia mecânica da massa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de oscilador harmônico simples. Isso envolve física de sistemas oscilatórios, onde temos uma massa presa a uma mola. Aqui, a massa é m = 0,1, kg e a constante da mola é k = 5, N/m. No começo, em t = 0, a massa está na posição 0,2, m e com uma velocidade inicial de 2,0, m/s. Nosso objetivo é achar a equação do movimento x(t) dessa massa e calcular a energia mecânica total do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um oscilador harmônico simples, a equação do movimento é uma função harmônica, geralmente escrita como:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
onde:
- A e B são constantes que determinam a amplitude e a fase,
- omega é a frequência angular, dada por:
omega = raizkm
Vamos calcular omega com os valores que temos.

Passo 3

Calculando omega:
omega = raiz5, N/m0,1, kg = raiz50, rad^2/s^2 = 7,071, rad/s
Então, nossa frequência angular é aproximadamente 7,071, rad/s.

Passo 4

Agora, usamos as condições iniciais para achar A e B. Sabemos que em t=0:
x(0) = 0,2, m
v(0) = 2,0, m/s
Primeiro, vamos calcular x(0) na equação geral:
x(0) = A cos(0) + B sin(0)
0,2 = A cdot 1 + B cdot 0
Então, A = 0,2.

Passo 5

Agora, vamos usar a velocidade inicial. A velocidade é a derivada de x(t):
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)
Em t=0:
v(0) = -A omega sin(0) + B omega cos(0)
2,0 = -0,2 cdot 7,071 cdot 0 + B cdot 7,071 cdot 1
2,0 = B cdot 7,071
Então, B = 2,07,071 approx 0,283.

Passo 6

Agora que temos A e B, podemos escrever a equação do movimento:
x(t) = 0,2 cos(7,071, t) + 0,283 sin(7,071, t)

Passo 7

Vamos calcular a energia mecânica total. A energia mecânica em um oscilador harmônico é a soma da energia cinética e da energia potencial. Ela pode ser calculada usando:
E = 12 k A^2 + 12 m v0^2
Substituindo os valores:
E = 12 cdot 5 cdot (0,2)^2 + 12 cdot 0,1 cdot (2,0)^2
E = 12 cdot 5 cdot 0,04 + 12 cdot 0,1 cdot 4
E = 0,1 + 0,2 = 0,3, J

Resposta

A equação de movimento é:
x(t) = 0,2 cos(7,071, t) + 0,283 sin(7,071, t)
E a energia mecânica da massa é 0,3, J.

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