Tarzan, cuja massa é M, balança de um cipó de comprimento L que está na horizontal quando ele inicia o movimento. Na parte inferior de seu arco, no ponto imediatamente abaixo da outra ponta do cipó, ele pega Jane, de massa m, seguindo com ela. Calcule, em termos de M, m, L e g:
a) A velocidade com que Tarzan atinge o ponto onde está Jane;
b) A altura máxima que eles podem alcançar na sua oscilação para cima.
c) A variação da energia mecânica do sistema, após Tarzan pegar Jane.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala do Tarzan balanceando em um cipó de comprimento L. No início, o cipó está na horizontal. Quando Tarzan chega ao ponto mais baixo do seu arco, ele pega a Jane, que tem massa m, e continua balançando com ela. A matéria que vamos usar aqui envolve Conservação da Energia Mecânica e Movimento de Pêndulo. Para resolver, vamos precisar das massas M e m, do comprimento L do cipó e da aceleração da gravidade g.

Passo 2

Parte a) Queremos encontrar a velocidade com que Tarzan atinge o ponto onde está a Jane. Para isso, vamos usar a conservação da energia mecânica. No ponto mais alto da balança (quando o cipó está horizontal), toda a energia é potencial. No ponto mais baixo, ela se transforma completamente em energia cinética.
A energia potencial no início é dada por:
Ep = (M + m) cdot g cdot h
onde h é a altura que o Tarzan vai descer. Como o cipó está horizontal, h = L.
A energia cinética no ponto mais baixo é:
Ec = 12 (M + m) cdot v^2
Pela conservação da energia:
Ep = Ec (M + m) cdot g cdot L = 12 (M + m) cdot v^2
Podemos simplificar cancelando (M + m) dos dois lados:
g cdot L = 12 v^2 v^2 = 2 g L v = raiz2 g L

Passo 3

Parte b) Agora, vamos calcular a altura máxima que Tarzan e Jane podem alcançar na oscilação para cima após pegar Jane. Nesse ponto, a energia cinética será convertida novamente em energia potencial.
Usamos novamente a conservação da energia mecânica. A energia cinética no ponto mais baixo será igual à energia potencial no ponto mais alto.
Então:
12 (M + m) cdot v^2 = (M + m) cdot g cdot hmax
Substituindo v^2 da parte a):
12 (M + m) cdot 2 g L = (M + m) cdot g cdot hmax (M + m) cdot g L = (M + m) cdot g cdot hmax
Novamente, podemos cancelar (M + m) cdot g dos dois lados:
L = hmax
Isso mostra que a altura máxima hmax é igual ao comprimento do cipó L.

Passo 4

Parte c) Queremos saber a variação da energia mecânica do sistema após Tarzan pegar Jane. Antes de pegar Jane, o sistema consistia apenas do Tarzan, com massa M. Após pegar Jane, a massa total passa a ser (M + m).
A energia mecânica inicial, quando apenas Tarzan está no movimento, no ponto mais baixo, é:
Einicial = 12 M cdot v^2
Depois de pegar Jane, a energia mecânica passa a ser:
Efinal = 12 (M + m) cdot v^2
A variação da energia mecânica é:
De
Substituindo v^2 = 2 g L:
De

Resposta

a) A velocidade com que Tarzan atinge o ponto onde está Jane é v = raiz2 g L.
b) A altura máxima que eles podem alcançar na oscilação para cima é igual ao comprimento do cipó, ou seja, hmax = L.
c) A variação da energia mecânica do sistema após Tarzan pegar Jane é De.

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