Tarzan, cuja massa é
, balança de um cipó de comprimento
que está na horizontal quando ele inicia o movimento. Na parte inferior de seu arco, no ponto imediatamente abaixo da outra ponta do cipó, ele pega Jane, de massa
, seguindo com ela. Calcule, em termos de
e
:
a) A velocidade com que Tarzan atinge o ponto onde está Jane;
b) A altura máxima que eles podem alcançar na sua oscilação para cima.
c) A variação da energia mecânica do sistema, após Tarzan pegar Jane.
a) A velocidade com que Tarzan atinge o ponto onde está Jane;
b) A altura máxima que eles podem alcançar na sua oscilação para cima.
c) A variação da energia mecânica do sistema, após Tarzan pegar Jane.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala do Tarzan balanceando em um cipó de comprimento
. No início, o cipó está na horizontal. Quando Tarzan chega ao ponto mais baixo do seu arco, ele pega a Jane, que tem massa
, e continua balançando com ela. A matéria que vamos usar aqui envolve Conservação da Energia Mecânica e Movimento de Pêndulo. Para resolver, vamos precisar das massas
e
, do comprimento
do cipó e da aceleração da gravidade
.
Passo 2
Parte a) Queremos encontrar a velocidade com que Tarzan atinge o ponto onde está a Jane. Para isso, vamos usar a conservação da energia mecânica. No ponto mais alto da balança (quando o cipó está horizontal), toda a energia é potencial. No ponto mais baixo, ela se transforma completamente em energia cinética.
A energia potencial no início é dada por:
onde
é a altura que o Tarzan vai descer. Como o cipó está horizontal,
.
A energia cinética no ponto mais baixo é:
Pela conservação da energia:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 3
Parte b) Agora, vamos calcular a altura máxima que Tarzan e Jane podem alcançar na oscilação para cima após pegar Jane. Nesse ponto, a energia cinética será convertida novamente em energia potencial.
Usamos novamente a conservação da energia mecânica. A energia cinética no ponto mais baixo será igual à energia potencial no ponto mais alto.
Então:
Substituindo
da parte a):
Novamente, podemos cancelar
dos dois lados:
Isso mostra que a altura máxima
é igual ao comprimento do cipó
.
Passo 4
Parte c) Queremos saber a variação da energia mecânica do sistema após Tarzan pegar Jane. Antes de pegar Jane, o sistema consistia apenas do Tarzan, com massa
. Após pegar Jane, a massa total passa a ser
.
A energia mecânica inicial, quando apenas Tarzan está no movimento, no ponto mais baixo, é:
Depois de pegar Jane, a energia mecânica passa a ser:
A variação da energia mecânica é:
Substituindo
:
Resposta
a) A velocidade com que Tarzan atinge o ponto onde está Jane é
.
b) A altura máxima que eles podem alcançar na oscilação para cima é igual ao comprimento do cipó, ou seja,
.
c) A variação da energia mecânica do sistema após Tarzan pegar Jane é
.